روش شناسی پژوهش در علوم انسانی

فرضيه‌هاي آماري (HO) و (HA) و کاربرد آنها در پژوهش‌هاي کمّي
 احمد هدايت‌پناه شالدهي         / دكتراي رياضيات دانشگاه ملي مهارت گيلان ـ دانشکدة دکتر معين رشت
    ahmad.hedayatpanah@gmail.com
مرضيه هدايت‌پناه شالدهي/ کارشناس ‌ارشد فناوري اطلاعات دانشگاه فني و حرفه‌اي ـ دانشکده فني و حرفه‌اي دختران ولي عصر (عج) تهران     m.hedayatpanah.86@gmail.com
بدريه هدايت‌پناه شالدهي/ کارشناس ارشد علوم قرآن وحديث حوزة معاونت پرورشي اداره کل آموزش و پرورش گيلان
    atharhedayatpanah@gmail.com
زينب کريمي تکرمي/ دكتراي ادبيات عرب آموزش و پرورش گيلان     zeynabkarimi135813581358@gmail.com
‌دريافت: 11/10/1403 ـ پذيرش: 31/01/1404
چكيده
هدف اصلي اين نوشتار توجه به کاربرد فرض‌هاي آماري صفر و خلف در پژوهش‌هاي کمّي است. «فرض صفر» در پژوهش‌هاي کاربردي، به‌ويژه آزمايشي، براي تأييد يا رد يک فرضيه، با عنايت به آمار استنباطي مورد استفادة فراوان محققان رشته‌هاي گوناگون علوم انساني، به‌خصوص روان‌شناسي، علوم تربيتي، مديريت و جامعه‌شناسي قرار مي‌گيرد. اما «فرض خلف» براي اثبات قضاياي هندسي است که فرضي موقتي است و به ياري استدلال، گزارة باطلي از آن نتيجه گرفته مي‌شود. چنين گزاره‌اي ممكن است فرض قضيه يا فرض برهان خلف را نفي كند. دربارة کاربرد اين دو واژه، به تفکيک و فراوان در جهان علم و پژوهش بحث شده، اما دربارة ارتباط اين واژگان سخني به ميان نيامده است. اين نوشتار به ارتباط اين فرض پرداخته است. همچنين به وجوه تشابه و تمايز آنها اشاره کرده است. ازجمله نتايج به‌دست‌آمده اين است که در حصول نتيجة فرض صفر، محقق با انواع خطا (خطاي نوع اول و خطاي نوع دوم) مواجه است. بنابرين از واژة «تأييد» استفاده مي‌شود؛ ولي در فرض خُلف چون فاقد خطاست، از واژة «استدلال» استفاده مي‌شود. فرضية صفر براي تحقيقات کمّي با رويکرد قياسي در فرايند يک استنتاج که به داده‌هاي عددي وابسته است نيز به‌کار مي‌رود. در تحقيقات کيفي مي‌توان فرضيه تعريف کرد، اما فاقد ساختار و انسجام است؛ زيرا داراي رويکرد استقرايي، ذهن‌گرا و تأويلي متکي بر تفسير و ارائة اطلاعات داده‌هاي شفاهي و روايتي است.
كليدواژه‌ها: فرضيه‌هاي آماري، فرضية صفر، پژوهش کمّي، فرض خلف، فرض خلاف. 
مقدمه
اگر بر اساس تجربيات قبلي نسبت‌به مسئله‌اي مطالعة توجيهي وجود دارد يا عواملي را مي‌توان پيش‌بيني کرد که قابل آزمون باشد، بر حسب نوع مطالعه، سؤال تحقيق به شکل فرضيه تنظيم مي‌گردد. فرضيه حدس بخردانة رابطة يک يا چند عامل يا مسئلة مورد مطالعه است که قابل آزمون آماري باشد. به‌عبارت ديگر، در تحقيقات کمّي که محقق با نمونه‌گيري احتمالي مواجه است، براي تعميم نتايج به فرضيه نياز دارد. براي تأييد فرضيه‌ها بعد از استفاده از آمار استباطي و استفاده از آزمون‌هاي آماري پارامتريک يا ناپارامريک، در تأييد تعميم‌پذيري فرضيه، به «فرض صفر» مي‌رسد. فرض صفر رد يا تأييد مي‌شود.
اين مقاله به نقش فرض‌هاي آماري مانند «فرض صفر» و «فرض خلاف» در پژوهش‌هاي کمّي (نظير آزمايشي) و برخي تحقيقات توصيفي مي‌پردازد. «فرضية صفر) درواقع همان نقش برهان خلف در هندسه را ايفا مي‌کند. با اشارة مختصر دربارة منشأ فرضيه، مطالب دنبال مي‌شود.
1. فرضيه
پژوهشگر پس از انتخاب و تعيين مسئله، اقدام به بيان فرضية پژوهشي مي‌نمايد (دلاور، 1400، ص71). به نظر جان بست:
پس از آنکه مسئله شناخته شد، ممکن است پاسخ‌ها يا راه‌حل‌هاي مشخصي به‌صورت فرضيه تنظيم شوند. اين گمان‌ها يا انديشه‌ها ممکن است به تجربيات قبلي، مشاهدات رسمي يا اطلاعات به‌دست‌آمده از ديگران مبتني باشد. لذا «فرضية تحقيق» يا «فرضية علمي» عبارت است از: يک حکم يا بيان رسمي و مثبت براي پيش‌بيني نتيجة يک تحقيق منحصر‌به‌فرد يا توضيح آزمايشي رابطة بين دو يا چند متغير. فرضيه سبب مي‌شود که تحقيق روي يک هدف معين متمرکز شود و آنچه که بايد مورد مشاهده قرار گيرد، مشخص گردد (بست، 1390 ص21-22).
مثال: چه رابطه‌اي بين هوش و پيشرفت تحصيلي در دورة راهنمايي وجود دارد؟ فرضيه مي‌تواند به صورت ذيل باشد: بين هوش و پيشرفت تحصيلي در دورة متوسطة اول همبستگي وجود دارد (دلاور، 1400، ص76).
به نظر جان بست، «کبري در روش قياسي قديمي، به‌تدريج جاي خود را به پيش‌فرض يا فرضيه‌هايي داد که با جمع‌آوري و تجزيه و تحليل منطقي داده‌ها، مورد آزمايش قرار مي‌گرفت»، اکنون اين روش قياسي ـ استقرايي به عنوان نمونه‌اي از روش علمي شناخته شده است (بست، 1390، ص20).
به‌نظر مک ناب، فرضيه اصلي‌ترين بخش تمام تحقيقات و پژوهش‌هاي علمي است. فرضيه‌ها پاسخ‌هاي احتمالي به چرا‌ها و چگونگي‌ها هستند. هيچ محققي نمي‌تواند پژوهش را آغاز کند، مگر اينکه قبل از آن فرضيه‌هاي پژوهش را تدوين کرده باشد (مک ناب، 1395، ص142).
به‌نظر کرلينجر، بيان فرضيه شامل دو يا چند متغير است که قابل اندازه‌گيري بوده و يا بالقوه قابليت اندازه‌گيري دارند و چگونگي رابطة متغيرها را مشخص مي‌کنند. فرضيه‌ها هميشه به‌صورت جمله‌هاي خبري هستند و متغيرها را به‌صورت کلي يا اختصاصي به متغيرهاي ديگر مربوط مي‌سازند (کرلينجر، 1398، ص44-45).
فرضيه‌ها را مي‌توان از نظريه‌ها استنتاج کرد يا مستقيماً از مشاهده‌ها، از طريق شهود يا ترکيبي از اين شيوه‌ها ساخت (فرانکفورد و نچمياس، 1390، ص92). گاهي فرضيه به‌صورت جملة شرطي بيان مي‌شود؛ مانند: اگر x پس y (رايف و ديگران، 1391، ص40). به زبان ساده مي‌توان گفت: تركيب يك بيانية فرضي بدين‌گونه است: «اگر چنين و چنين رخ دهد، نتيجه چنان و چنان خواهد شد» (حسن‌زاده، 1401، ص60).
مثال: «اگر كودكان فيلم‌هاي خشونت‌آميز تلويزيوني را تماشا كنند، در آن صورت پرخاشگري آنها افزايش مي‌يابد»، ولي در علوم رفتاري به‌صراحت از اين قالب استفاده نمي‌كنند، بلكه مي‌نويسند: در فرضيه، «تماشاي فيلم‌هاي خشونت‌آميز تلويزيون باعث پرخاشگري كودكان مي‌شود» (حسن‌زاده، 1401، ص60). به‌عبارت ديگر، فرضيه يک قضية شرطي يا فرضي است که تأييد يا رد آن بايد بر اساس سازگاري مفاهيم آن و به استناد مدارک تجربي گذشته آزمايش شود (دلاور، 1400).
«فرضيه گماني است موقتي که درست بودن يا نبودن‌اش بايد مورد آزمايش قرار گيرد» (حافظ‌نيا، 1401، ص110).
مثال:
الف) «سيگار موجب سرطان ريه مي‌شود».
ب) پدر و مادر بلندقد بچه‌هاي بلندقد دارند (محمد و ديگران، 1382، ص99).
فرضيه در پژوهش‌هايي که هدف آن کشف روابط علت و معلولي است، ضروري است (دلاور، 1400، ص72).
بايد توجه داشت که «فرضيه» با «فرض» متفاوت است: فرض (assumption) مجموعه حدس‌هايي است که پشتوانة نظري ندارند و پژوهشگر با آگاهي عمومي خود آنها را بيان مي‌کند، درحالي‌که فرضيه برآمده از چارچوب نظري است که حاصل پژوهش است. همچنين فرض در «آزمون فرض» شکل آماري فرضيه است (خاکي، 1401، ص166). فرضيه‌هاي کمّي پيش‌بيني‌هايي هستند که محقق دربارة روابط مورد انتظار بين متغيرها مطرح مي‌کند. اين فرضيه‌ها برآورد عددي از ارزش‌هاي جامعه بر اساس داده‌هاي جمع‌آوري‌شده از نمونه‌هاي آماري است (کرسول، 1391، ص117). در تحقيقات کيفي هم مي‌توان از فرضيه استفاده کرد.
شکل 1: انواع فرضيه

1-1. انواع فرضيه
1-1-1. فرضية تحقيقي
«فرضية تحقيقي» بياني است که به توصيف رابطة بين متغيرها مي‌پردازد و به دو گونة «جهت‌دار» و «بدون جهت» تقسيم مي‌شود (دلاور، 1399الف، ص91).
الف) فرضية تحقيقي جهت‌دار
«فرضية جهت‌دار» فرضيه‌اي است که در آن جهت ارتباط بين متغيرها يا جهت اثر متغير مستقل بر متغير وابسته مشخص است (حسن‌زاده، 1401، ص61). فرضيه وقتي به‌صورت جهت‌دار بيان مي‌شود که دلايل منطقي و نظري يا تجربي مبني‌بر جهت‌دار بودن آن وجود داشته باشد (دلاور، 1400، ص83). اين فرضيه خود به دو نوع «جهت‌دار مثبت» و «جهت‌دار منفي» تقسيم مي‌شود (فرهادي، 1387، ص62).
مثال1: افزايش آموزش مهارت‌هاي اجتماعي موجب افزايش اعتماد به نفس دانش‌آموزان مي‌شود (اسماعيلي و بيابانگرد، 1388، ص22).
مثال2: کاهش مدت انجام تکاليف در کلاس موجب کاهش رفتار خارج از نيمکت دانش‌آموزان مي‌شود (دلاور، 1400، ص82).
ب) فرضية تحقيقي بدون جهت
در «فرضية بدون جهت»، جهت تأثير يا رابطة متغير مستقل يا متغير وابسته معلوم نيست. به نظر کرسول (1391) در اين نوع فرضيه نيز پيش‌بيني انجام مي‌شود، اما نوع تفاوت يا رابطه به‌صورت دقيق (براي مثال، بالاتر، پايين‌تر، بيشتر و کمتر) مشخص نمي‌شود؛ زيرا محقق با توجه به ادبيات گذشته نمي‌داند چه چيزي را مي‌توان پيش‌بيني کرد. بنابراين محقق مي‌تواند بنويسد: «بين دو گروه تفاوت وجود دارد» (کرسول، 1391، ص120).
مثال: بين هوش و پيشرفت تحصيلي در دورة اول متوسطه همبستگي وجود دارد (دلاور، 1400).
2-1-1. فرضية آماري
توضيح آن در ادامة مقاله خواهد آمد.
2-1. آزمون فرضيه
آزمون فرضيه در اوايل قرن هجدهم مطرح گرديد و براي اولين بار در مقاله‌اي كه جان آربوت نات درسال 1710 نوشت، از آن بحث شد (دلاور، 1399ب، ص292).
مهم‌ترين ويژگي يک فرضية خوب، آزمون‌پذير بودن آن است؛ يعني فرضيه را مي‌توان از طريق جمع‌آوري اطلاعات و مشاهدات آزمايشي رد يا تأييد و نتيجه‌اي را از آن استخراج کرد. چنانچه فرضيه درست باشد مي‌توان نتايجي بر اساس آن پيش‌بيني نمود (دلاور، 1400، ص77).
فرضيه مهم‌ترين ابزار فکري پژوهش است. وظيفة آن نشان ‌دادن آزمايش‌ها و مشاهدات جديد است و به همين دليل، گاهي حتي اگر خود فرضيه درست نباشد به کشفيات جديد مي‌انجامد (بوريچ، 1386، ص68). درواقع فرضيه بايد به‌خوبي تنظيم شود تا قابل آزمون باشد. به نظر جان بست، فرضية تحقيق پاسخي آزمايشي به يک پرسش است و يک فرضية خوب داراي چند ويژگي اساسي است:
الف) فرضيه بايد بخردانه يا منطقي باشد.
ب) با حقايق شناخته‌شده يا نظريه‌ها هماهنگ باشد.
ج) به‌ گونه‌اي بيان شود که آزمودن آن ممکن باشد و درستي يا نادرستي کامل آن را بتوان اثبات کرد.
د) با ساده‌ترين اصطلاحات ممکن بيان شود (بست، 1390، ص61).
مثال: دانش‌آموزاني که در دورة ابتدايي برنامة مشاوره و راهنمايي داشته‌اند از نظر بيان کلامي قوي‌تر از دانش‌آموزاني هستند که در دورة ابتدايي اين برنامه براي آنها اجرا نشده است (دلاور، 1400).
به نظر مک ناب، فرضيه‌هاي تحقيق بايد به‌گونه‌اي تدوين شوند که مفاهيم اصلي تشکيل‌دهندة آن، خود سؤال‌برانگيز نباشد و امکان آزمون علمي آنها وجود داشته باشد. مفاهيم ماورايي و متافيزيک هرگز نبايد به‌مثابة مبنايي براي فرضيه‌هاي تحقيق در نظر گرفته شود؛ زيرا اين‌گونه مفاهيم به لحاظ تجربي قابل آزمون نيست (مک ناب، 1395، ص 144). همچنين اگر به صورت مفاهيم ارزشي باشد نمي‌توان آن را پژوهيد.
مثال: جملة «اجرا کردن برنامة مشاوره و راهنمايي در مدارس ابتدايي مطلوب است». و چنانچه فرضيه کلي باشد، آزمون آن دشوار و حتي گاهي غيرممکن است. بنابراين هرچه مسئله جزئي‌تر باشد امکان آزمون آن بيشتر مي‌شود؛ اما تبديل کلي به جزئي بايد تا جايي ادامه يابد که به کاهش اهميت مسئله يا فرضيه منجر نشود (دلاور، 1400).
اهميت فرضيه‌ها در پژوهش علمي، بيش از آن است که تنها آنها را بشناسيم و بدانيم چگونه ساخته شده‌اند. فرضيه‌ها رسالتي مهم و اساسي در متمايزسازي انسان از خود دارند. فرضيه‌ها ابزارهاي قدرتمند براي پيشرفت دانش هستند؛ زيرا با وجود اينکه توسط انسان صورت‌بندي شده‌اند، اما مي‌توانند جداي از ارزش‌ها و عقايد انسان آزمون شوند و درستي يا نادرستي آنها نشان داده شود (نيومن، 1399، ج1، ص320).
اگر همة اعضاي جامعه مطالعه شوند انجام يك آزمون معناداري بي‌معناست (گال و ديگران، 1401، ج1، ص314). پژوهشگر نمونه‌گيري مي‌كند تا بتواند بر مبناي نمونه دربارة جامعه استنباط كند (نيومن، 1399، ص510). چگونگي انتخاب نمونه مشخص مي‌كند كه آيا مي‌توان نتايج را به كل جامعه تعميم داد يا نه؟ نمونه‌گيري احتمالي به حل مشكل تعميم كمك مي‌كند (رايف و ديگران، 1391، ص176). در به‌کارگيري روش‌هاي استنباط آماري کوشش مي‌کنيم که اندازة آماره‌هاي محاسبه‌شده از يک نمونه را به‌کار ببريم تا استنباط‌هايي را دربارة متغير‌ (پارامتر)هاي جامعه به‌دست آوريم (گال و ديگران، 1401، ج1، ص306). آزمون فرضيه يك فرايند استنتاجي است كه هدف آن برآورد متغير جامعه‌اي است كه نمونة مورد مطالعه از آن استخراج شده است (دلاور، 1399ب، ص293).
همة استنباط‌هاي آماري جديد اساساً بر استنتاج مقادير ملاک جامعه از روي داده‌هايي كه از يك گروه نمونه به دست مي‌آيد، متمركزند (حسن‌زاده، 1401، ص101). نگارش فرضيه نيازمند مهارت، دانش، تجربه و منابع است. ازاين‌رو منابع فرضيه عبارتند از: 1. کشف و شهود؛ 2. منطق و استنتاج؛ 3. مشاهده و تجربه؛ 4. تحقيقات پيشين؛ 5. فرهنگ (ساروخاني، 1399، ج1، ص104). با عنايت به آنچه دربارة ديدگاهاي صاحب‌نظران درخصوص فرضيه گفته شد، ساروخاني در جمله‌اي کوتاه گفته که «فرضيه‌ها موتور تحقيق‌اند» (ساروخاني، 1399، ج1، ص116).
اينک ضمن آشنايي با فرضيه، پژوهشگران با هدف کاربرد فرضيه‌‌هاي آماري صفر و جايگزين (خلاف) در پژوهش‌هاي کمّي، در اين مقاله به سؤال‌هاي ذيل پاسخ مي‌دهند:
3. سؤال‌ها
1. فرضية آماري چيست و چه کاربردي در پژوهش‌ها دارد؟
2. فرض صفر چيست و چه کاربردي در پژوهش‌ها دارد؟
3. فرضية خلاف چيست و چه کاربردي در پژوهش‌ها دارد؟
4. فرق فرضيه‌هاي صفر و خلاف چيست؟
5. تشابه و تفاوت فرضية صفر و برهان خلف در چيست؟
6. نقش خطاهاي پرکاربرد در فرضيه‌هاي آماري چگونه است؟
4. يافته‌ها
1-4. سؤال (1) و پاسخ آن
فرضية آماري چيست و چه کاربردي در پژوهش‌ها دارد؟
1-1-4. انواع فرضيه
به نظر کرلينجر، به‌طور‌کلي دانشمند دو نوع فرضيه را به کار مي‌برد:
الف) فرضية واقعي؛ ب) فرضية آماري.
الف) فرضية واقعي
نوع معمولي فرضيه است که در آن دربارة رابطة بين دو يا چند متغير يک حکم حدسي بيان مي‌شود.
مثال: «هر اندازه پيوند گروهي بيشتر باشد نفوذ گروه روي اعضاي آن بيشتر است». اين يک فرضية واقعي است. نظرية پژوهشگر به او مي‌گويد: «اين متغير به آن متغير مربوط است. بيان اين رابطه يک فرضية واقعي است.» به‌عبارت دقيق‌تر، فرضية واقعي آزمون‌پذير نيست. بايد آن را به اصطلاحات عملياتي تبديل يا ترجمه کرد. يکي از روش‌هاي مفيد براي آزمودن فرضية واقعي، استفاده از فرضية آماري است که از روابط فرضية واقعي استنباط مي‌شود (کرلينجر، 1398، ص 318). فرضيه يا فرضيه‌هاي خود را هم به‌صورت مفهومي و هم عملياتي و نيز به شکل فرض اثباتي و فرض صفر هر دو بيان کنيد (بست، 1390، ص75).
ب) فرضية آماري
فرضية آماري جمله‌ها يا عبارت‌هايي هستند که با استفاده از نماد‌هاي آماري و به صورت متغير نوشته مي‌شوند و نقش آنها هدايت پژوهشگر در انتخاب آزمون آماري است. فرضية آماري به دو دسته تقسيم مي‌شود: الف) فرضية صفر؛ ب) فرضية خلاف. به‌عبارت ديگر، فرضيه‌ها را مي‌توان به صورت «فرضية صفر» (Null Hypothesis)
(HO) و «فرضية خلاف» (HA) نشان داد (دلاور، 1399الف، ص92).
2-4. سؤال (2) و پاسخ آن
فرض صفر چيست و چه کار بردي در پژوهش‌ها دارد؟
قبل از پاسخ سؤال (2) نخست به پيشينة فرضية صفر اشاره مي‌‌شود. «فرض صفر بيان مقداري است كه به‌صورت پارامتر صورت‌بندي مي‌شود و بناي رياضي آن برهان خلف است» (دلاور، 1399الف، ص92). فرض صفر برگرفته از فرض خلف يا همان اثبات به روش «برهان خلف» معروف در هندسه است.
«خُلف» اصطلاحي در منطق است. اين اصطلاح در متون منطقي و فلسفي با عناويني چون «برهان خلف» و «قياس خلف» به کار مي‌رود. برهان يا قياس خلف از کارآمدترين طرق استنتاجي است که بر اصل «محال بودن تناقض» مبتني است. در اين روش، مطلوب به‌واسطة ابطال نقيض آن اثبات مي‌شود (گوهرتاج، 1393).
يکي از روش‌هاي استدلال رياضي استفاده از برهان خلف در حل مسائل است. در اين روش به‌جاي آنکه درستي يک گزاره را به‌طور مستقيم ثابت کنيم، راهي غيرمستقيم انتخاب مي‌نماييم و ثابت مي‌کنيم با نپذيرفتن درستي گزارة حکم به نتيجه‌اي نامعقول مي‌رسيم. به همين دليل، اين شيوة اثبات را «روش غيرمستقيم» نيز مي‌گويند (تنجاني، 1399).
در همين زمينه، «افلاطون كراراً اثبات گنگ بودن طول قطر مربعي به اضلاع واحد را به‌‌عنوان مثالي براي يك روش نامستقيم (برهان خلف) بنا نهاد. لذا برهان خلف توسط افلاطون ابداع شد» (گرينبرگ، 1389). در آثار افلاطون روش خلف نيز به کار رفته است. يکي از معاني که افلاطون براي آن واژة «ديالکتيک» را به‌کار برده، «خلف» است (گوهرتاج، 1393).
در اصطلاح منطق کلاسيک، «برهان خلف» عبارت است از: اثبات يک حکم به‌وسيلة استخراج تناقضي از نقيض آن حکم و احکامي که قبلاً ثابت شده يا قبول شده است و اين را «برهان غيرمستقيم» نيز مي‌خوانند. اصطلاح «برهان خلف» به اثبات نقيض يک گزاره و احکامي که قبلاً ثابت شده است نيز اطلاق مي‌شود (مصاحب، 1366، ص191).
در بسياري از حالات از هر دو روش مستقيم و غيرمستقيم براي اثبات مي‌توان استفاده کرد (ويتيس و استويل، 1376).
در برهان خلف، وقتي مي‌خواهند يك گزارة شرطي نظير ‍C‍→ H را ثابت كنند، نقيض حكم، يعني نقيض C را درست مي‌انگارند و براي اينكه فرض جديد با H اشتباه نشود، آن را «فرض برهان خلف» مي‌نامند. «فرض برهان خلف» فرضي است موقتي كه به ياري استدلال، گزارة باطلي را از آن نتيجه مي‌گيريم (باطل بدين معني كه نافي گزاره‌اي است كه درستي‌اش بر ما مسلّم است). چنين گزاره‌اي ممكن است فرض قضيه يا فرض برهان خلف ما را نفي كند و ممكن است قضيه‌اي را كه قبلاً ثابت شده يا حتي بنداشتي را منتفي سازد. وقتي نشان داده شده كه نقيض C به گزارة باطلي منجر مي‌شود، از آنجا درستي حكم C نتيجه مي‌شود. اين چيزي است كه «حكم برهان خلف» ناميده مي‌شود (گرينبرگ، 1389).
روش برهان خلف در اثبات اينکه گزاره يا گزاره‌نماي Q نتيجة مقدمات مفروضي است، اين است که ~Q (نقيض نتيجة مطلوب) را که گاه آن را «قول مدعي» مي‌نامند و ما آن را «فرض خلف» مي‌خوانيم، مفروض مي‌گيرند و از اين فرض، به ياري مقدمات مفروض و قضايايي که قبلاً ثابت يا پذيرفته شده است، استخراج مي‌کنند و بدين استناد حکم به باطل بودن قول مدعي و اثبات نتيجة مطلوب مي‌کنند (مصاحب، 1370، ص37).
«اين حقيقت كه يك عبارت رياضي نمي‌تواند همزمان هم درست و هم نادرست باشد، اساس روش اثبات غيرمستقيم است» (ويتس و استويل، 1376، ص14). «همان‌طور که فرضيه‌ها حالت شرطي دارند، لذا همة قضاياي رياضي گزاره‌اي شرطي هستند؛ گزاره‌هايي به صورت اگر [فرض]، آنگاه [حکم]» (مصاحب، 1370، ص30).
براي مثال، «زواياي مجاور به قاعده در يک مثلث متساوي الساقين قابل انطباق‌اند» را مي‌توان چنين تعبير کرد: «اگر مثلثي دو ضلع قابل انطباق داشته باشد، آنگاه زاويه‌هاي روبه‌روي اين دو ضلع قابل انطباق‌اند» (گرينبرگ، 1389). در ذيل، براي مثال، اثبات قضيه‌اي به روش برهان خلف آمده است:
قضيه: دو خط عمود بر يک خط متوازي‌اند.
فرض خلف: دو خط متمايز AB وCD بر خط EF عمودند.
حکم: AB||CD
برهان (طريقة برهان خلف): اگر دو خط AB وCD متوازي نباشند، يکديگر را در يک نقطه که آن را P مي‌ناميم، قطع مي‌کنند (شکل 1). در آن صورت لازم مي‌آيد که از نقطة P دو خط بر EF عمود شده باشند و اين محال است. بنابراين نقطة تلاقيP  وجود ندارد و بنا به تعريف، دو خط AB وCD  متوازي‌اند (آذرنوش و ديگران، 1345) (شکل 1).
شکل 2: اثبات قضيه‌اي به روش برهان خلف

1-2-4. ديدگاه‌ها دربارة فرض صفر (HA)
پژوهشگر روش‌هاي آماري را با استفاده از فرضيه‌هاي آماري انتخاب مي‌کند. فرضية آماري يک بيان مقداري دربارة ملاک‌هاي جامعه است. فرضية صفر يک بيان مقداري است که به‌صورت متغير بيان مي‌شود و کارايي آن به برهان خلف در رياضي شباهت دارد و مبين عدم تفاوت است و باH_o نشان داده مي‌شود. فرض صفر به صورت متغير صورت‌بندي مي‌شود.
فرضية صفر ازجمله مباحث آماري قرن بيستم است که به فيشر نسبت داده مي‌شود و ديدگاه‌هاي گوناگوني در تبيين آن وجود دارد. در بحث آزمون فرض، اغلب با فرض‌ها يا ادعاهايي دربارة متغيرهاي توزيع جوامع آماري مواجهيم. به اين فرض‌ها يا ادعاها «فرض صفر» گفته مي‌شود و آن را با H_o نشان مي‌دهيم و فرضي است که درصدد رد يا عدم رد آن هستيم (رنجبران، 1392، ص463).
مثال: «بين عزت نفس و همنوايي دانشجويان رابطه وجود ندارد» (حسن‌زاده، 1401). چون فرض صفر با آزمون‌هاي آماري به‌کار برده مي‌شود، پژوهشگر براي تفسير نتايج از آن استفاده مي‌کند. فرض صفر معمولاً انتظارهاي پژوهشگر را منعکس نمي‌کند و استفاده از آن اصولاً به علت تناسب آن با منطق آمار استنباطي است (گال و ديگران، 1401، ج1، ص112).
فرضية صفر، برخلاف فرضية تحقيق، به عدم وجود رابطه بين متغير‌ها اشاره مي‌كند. اين فرضيه بيان مي‌كند كه متغير مستقل بر متغير وابسته اثر ندارد و بين متغير‌ها رابطه يا تفاوت وجود ندارد و بين متغيرهاي تحقيق هيچ رابطه‌اي وجود ندارد (حسن‌زاده، 1401، ص22).
به‌عبارت ديگر، «فرضية صفر مي‌گويد که ضريب همبستگي برابر صفر است» (بست، 1390).
پژوهشگران فرضيه‌ها را به دو شيوه مي‌آزمايند: شيوة مستقيم و شيوة فرض صفر (همانند رياضيات که قضايا را به دو صورت مستقيم و غيرمستقيم (برهان خلف)  اثبات مي‌کنند). بسياري از پژوهشگران كمّي، به‌ويژه آنان كه راهبرد آزمايشي را در پيش مي‌گيرند، فرضيه‌هاي خود را بر مبناي منطق فرضية ناقض در قالب فرضية صفر بيان مي‌كنند، سپس فرضيه‌ها را با شواهد تجربي مي‌آزمايند كه اين امر به آنها اجازه مي‌دهد فرضية صفر را بپذيرند يا رد كنند. اغلب افراد فرضيه‌ها را راهي براي پيش‌بيني يك رابطه مي‌دانند. فرضية صفر حالتي مخالف دارد. اين فرضيه هيچ رابطه‌اي را پيش‌بيني نمي‌كند (نيومن، 1399، ج1، ص326).
پس از آنکه محققان فرضية مثبت تحقيق را در ابتداي کار خود تنظيم کردند، براي تجزيه و تحليل آماري مشاهدات خود، فرضيه را مجدداً به‌ صورت منفي يا فرضية صفر بيان مي‌کنند (بست، 1390، ص45). فرضية صفر اصل را بر اين قرار مي‌دهد که بين متغيرهاي مورد مطالعه، اختلاف يا ارتباط معناداري وجود ندارد و به‌منظور برآورد متغيرهاي جامعه به‌کار برده مي‌شود (دلاور، 1399ب، ص292).
فرضية آماري صفر «The Null Hypothesis (Ho)» فرضيه‌اي است که منکر وجود رابطه يا اثر بين متغيرهاست. فرضية صفر فرضيه‌اي است که منکر وجود رابطه يا اثر، بين متغيرهاست و به «فرضية پوچ» مشهور است و مي‌تواند از طريق منطق و قبل از پژوهش صورت پذيرد و يا آنکه بعد از آزمون فرضيه تحقق يابد (ساروخاني، 1399، ج1، ص115). فرض صفر ـ درواقع ـ نقيض يا منفي کردن عبارت است.
مثال در فرضيه: «بين اقتصاد خانواده و پيشرفت تحصيلي فرزند (فرزندان) آنان رابطة مستقيم وجود دارد». فرضية صفر چنين است: «بين اقتصاد خانواده و پيشرفت تحصيلي فرزند (فرزندان) آنان رابطة مستقيم وجود ندارد (يا رابطة معکوس وجود دارد)».
بيان فرضيه به صورت صفر ضروري نيست. چنانچه فرضيه به صورت جهت‌دار يا مثبت بيان شود درک آن آسان‌تر است. فرض صفر با آزمون‌هاي آماري به‌کار برده مي‌شود و پژوهشگر براي تفسير نتايج، از فرض صفر استفاده مي‌کند (دلاور، 1403، ص83).
2-2-4. علت نام‌گذاري فرضية صفر
Ho به‌معناي فرضية صفر است. در اين‌باره فرضية صفر به صورت زير نوشته مي‌شود:
H_O:M_A-M_B=0
از روي اين شکل علت نام‌گذاري فرضية صفر معلوم مي‌شود. تفاوت M_B و M_A مساوي صفر است (کرلينجر، 1398، ص320).
نوشتن فرضية صفر به اين صورت کمي دشوار است، به‌ويژه اگر تعداد ميانگين‌ها و يا شاخص‌هاي آماري که آزموده مي‌شود سه مورد يا بيشتر باشد.
M_A=M_B کلي است، و البته معناي آن با :M_A-M_B=0 يا :M_B-M_A=0 يکي است. بنابراين فرضيه را به سادگي مي‌توان چنين نوشت: M_A=M_B=M_C=….=M_N  (کرلينجر، 1398، ص320).
يک فرضيه هيچ‌گاه اثبات و يا ابطال نمي‌شود، بلکه بر اساس داده‌هاي به‌دست‌آمده فقط تأييد يا رد مي‌شود (سرمد و ديگران، 1396، ص35).
3-2-4. کاربرد فرض صفر
الف) تعيين ناحية رد
ناحية رد يک آزمون ـ درواقع ـ ناحية رد فرض صفر  Hoاست. اساساً تعيين ناحية رد يک آزمون شامل سه قسمت اساسي (آمارة آزمون، ساختار و مقادير بحراني «cratical») است.
شکل 2: توزيع آمارة آزمون
ناحية رد يک آزمون بر مبناي ساختار فرض مقابل H1 يا HA تعيين مي‌گردد. توزيع آمارة آزمون مطابق شکل (2) به دو ناحيه تقسيم مي‌شود: يکي ناحية رد Ho و ديگري ناحية قبول (عدم رد)Ho . ناحية رد فرض Ho را «ناحية بحراني» و مرز بين دو ناحية رد و قبول را «مقادير بحراني» مي‌نامند. درواقع، مقادير بحراني ناحية رد را از قبول جدا مي‌کند. محاسبة مقادير بحراني تک‌تک آزمون‌ها از يکديگر جداست. مقادير در جدول اعداد مشخص است (رنجبران، 1392، ص467-470).
ب) سطح معنادار بودن (سطح اطمينان)
«معناداري آماري» بدين معناست که بعيد است نتايج به‌دست‌آمده حاصل تصادف باشد (نيومن، 1399، ج2، ص77).
به نظر ديويد ر. باني‌فيس در آزمايش مبتني بر نمونه‌اي تصادفي از افراد، تفاوت بين ميانگين‌ها به‌اندازه‌اي زياد است که آنها را مي‌توان ناشي از تفاوت وضعيت‌ها دانست. چنين تفاوت‌هايي را از نظر آماري «معناداري» گويند. به‌عبارت ديگر، وقتي معناداري آماري وجود دارد که اختلاف حاصل در يک نمونه به‌اندازه‌اي بزرگ باشد که با اطمينان بتوان آن را به جامعة ذي‌ربط تعميم داد (باني‌فيس، 1395، ص26). قبول يا رد فرض صفر بر يك سطح معناداري (سطح α) به‌عنوان يك ملاك مبتني است. در مطالعات روان‌شناسي و آموزش و پرورش، اغلب سطح 5% آلفاي معنادار بودن به‌مثابة معياري براي رد کردن فرض صفر به‌کار مي‌رود. رد صفر در سطح 5% بيانگر آن است كه تفاوت دو ميانگين در حدي است كه بين ميانگين‌هاي گروه آزمايش و گروه گواه يافت شده است و احتمالاً نمي‌تواند در بيش از 5% درصد موارد (در5 مورد از 100مورد تکرار آزمايش) ناشي از خطاي نمونه‌گيري باشد (بست، 1390، ص346).
به‌نظر کرلينجر، سطح 5% به اين معناست که نتيجة به‌دست‌آمده که در سطح 5% معنادار است، فقط 5 بار در 100 بار ممکن است تصادفي به‌دست آيد. سطح 5% نخستين بار توسط فيشر انتخاب شده است. سطح معناداري تا اندازه‌اي به‌طور قرار دادي انتخاب مي‌شود. سطح معناداري 1% اغلب مورد استفاده قرار مي‌گيرد. سطوح 1%  و %5 طرفداران زيادي دارد (کرلينجر، 1398، ص259). به نظر کرلينجر، سطوح 5%  و 1% با فاصله‌هاي دو و سه انحراف معيار از ميانگين (: x ̅±2S) و (S 3 ± x ̅) توزيع احتمال بهنجار است (کرلينجر، 1398، ص260).
شکل 3: سطح معني‌داري و رد فرض صفر
3-4. سؤال (3) و پاسخ آن
فرضية خلاف چيست و چه کاربردي در پژوهش‌ها دارد؟
فرض خلاف را با HA يا H1 نمايش مي‌دهند. فرضيه‌هاي تحقيق غالباً راهنماي محقق در تدوين فرض خلاف هستند. به‌عبارت ديگر، فرض خلاف غالباً منطبق بر فرضيه‌هاي تحقيقي است؛ به‌اين‌معنا که فرض خلاف بيان‌کنندة انتظار پژوهشگر دربارة نتايج تحقيق است. فرض صفر و فرض خلاف بايد با يکديگر ناسازگار باشند؛ يعني به زبان رياضي، اشتراک آنها تهي باشد. به‌عبارت ديگر، نبايد به هيچ شکل يا طريقي با هم تداخل داشته باشند (دلاور، 1399الف، ص92). فرضية خلاف مطابق با فرضيه‌هاي تحقيقي بيان مي‌شود، به‌اين‌معنا که اگر فرضية تحقيقي جهت‌دار باشد، اين فرضيه نيز جهت‌دار خواهد بود (دلاور، 1400، ص88). به ديگر سخن، فرض خلاف بياني است که پژوهشگر آرزو مي‌کند دربارة آن پژوهش کند. مثال:
HA: اثربخشي روش‌هاي درمان حساسيت‌زدايي منظم و پايش نفس برروي اضطراب امتحان متفاوت است.
HO: اثربخشي روش‌هاي درمان حساسيت‌زدايي منظم و پايش نفس برروي اضطراب امتحان متفاوت نيست (خلعتبري، 1399، ص116).
HA: بين عزت نفس و همنوايي دانشجويان رابطه وجود دارد.
HO: بين عزت نفس و همنوايي دانشجويان رابطه وجود ندارد (حسن‌زاده، 1401، ص64).
4-4. سؤال (4) و پاسخ آن
فرق فرضيه‌هاي صفر و خلاف چيست؟
در بحث آزمون فرض، اغلب با فرض‌ها يا ادعاهايي دربارة متغيرهاي توزيع جوامع آماري مواجهيم. به اين ادعا‌ها «فرض صفر» گفته مي‌شود و آن را با Ho نشان مي‌دهند. فرض آماري را که در مقابل فرض صفر قرار مي‌گيرد (ناقض فرض صفر) «فرض مقابل» ناميده و آن را با HA يا H1 نشان مي‌دهند. به‌عبارت ديگر، فرض HA فرضي است که در صورت رد فرض Ho پذيرفته مي‌شود و يا ـ از نظر آماري به‌عبارت صحيح‌تر ـ رد نمي‌گردد. در اجراي يک آزمون آماري، همواره فرض صفر را آزمون مي‌کنيم، خواه با ادعاي اصلي يکي باشد يا نباشد.
گاهي فرض صفر بر ادعاي اصلي و زماني بر نقيض ادعاي اصلي منطبق است. ادعاي اصلي بسته به اينکه چگونه بيان شود، ممکن است فرض صفر يا فرض مقابل باشد (رنجبران، 1392، ص463). قاعده اين است که همواره بايد فرض صفر (HO) دربرگيرندة تساوي باشد؛ يعني به صورت = ، ≥ ، ≤ بيان ‌شود (رنجبران، 1392، ص463). در حالت کلي آزمون‌هاي فرض به يکي از صورت‌هاي ذيل بيان مي‌شود:
 (1) {█(H_O: θ=θ_o  @H_A ∶θ= θ_A  )┤  (2) {█(H_O: θ=θ_o  @H_A ∶θ≠ θ_o  )┤
 (3) {█(H_O: θ≥θ_o  @H_A ∶θ< θ_o  )┤  (4) {█(H_O: θ≤θ_o  @H_A ∶θ> θ_o  )┤
در رابطه‌هاي بالا، θ_o همان متغير آزمون است. در حالت (1) فرض ما «ساده» ناميده مي‌شود و در حالت‌هاي (2) و (3) و (4) فرض‌ها مرکب است. در حالت‌هاي بالا، مسئله انتخاب بين دو فرض H_o وH_A است که نسبت به θ متقابلاً ناسازگار هستند. مثال‌هاي ذيل را که در جدول نوشته‌شده به دقت بررسي کنيد (رنجبران، 1392، ص464).
«فرض خلف» معادل نقيض حکم در هندسه و «فرض صفر» معادل نقيض فرضيه در روش تحقيق و «فرض خلاف» معادل حکم در هندسه است كه محقق آرزوي دستيابي به آن را دارد.
5-4. سؤال (5) و پاسخ آن
تشابه و تفاوت فرضية صفر و برهان خلف در چيست؟
1-5-4. وجه تشابه
جدول 1: تشابه فرضية صفر و برهان خلف
هندسه    روش تحقيق
قضيه يا گزاره با جمله‌اي بيان مي‌شود.    فرضيه با جمله‌اي خبري بيان مي‌شود.
محتواي گزاره يا قضيه شرطي است: q، p→q     محتواي فرضيه شرطي است:  q، p→ q
در فرض خلف با نقيض حکم سروكارداريم.     در فرض صفر، با فرضية منفي سروكار داريم.
2-5-4. وجه تمايز
جدول 2: تفاوت فرضية صفر و برهان خلف
هندسه    روش تحقيق
حکم مستقيماً اثبات نمي‌شود، فقط فرض خلف رد مي‌گردد.    فرضيه هرگز اثبات نمي‌شود، بلكه مي‌تواند نقض يا تأييد گردد. 
نمونه‌گيري وجود ندارد.    با نمونه‌گيري يا سرشماري مواجه‌ايم.
 براي نتيجه، در فرض خلف به باطل بودن يا درستي مطلب صددرصد مي‌رسيم.     براي نتيجه، در فرض صفر (رد يا تأييد) ردشدن يا درستي مطلب 95 يا 99 يا... درصد است.
با فرض و حكم سروكارداريم.     با متغيرهاي مستقل و وابسته سروكار داريم.
با خطا مواجه نيستيم.    با خطا مواجه‌ايم.
 با واژة «اثبات» سروکارداريم.     از واژة «معناداري» و «تأييد» يا «رد» استفاده مي‌کنيم.
فاقد آزمون‌هاي آماري است. (تحليل آماري صورت نمي‌گيرد.)      مبتني بر آزمون‌هاي آماري است. (تحليل صورت مي‌گيرد.) 
براي همة قضايا و گزاره‌ها قابل استفاده نيست.    براي همة فرضيه‌ها قابل استفاده است.
نيازمند تفسير نيست.     در تحقيق کمّي نيازمند تفسير است.
6-4. سؤال (6) و پاسخ آن
نقش خطاهاي پرکاربرد در فرضيه‌هاي آماري چيست؟
تعريف خطاي نوع اول: زماني که فرض صفر درست است آن را رد مي‌کنيم و احتمال آن با نماد α بيان مي‌شود.
تعريف خطاي نوع دوم: زماني که فرض صفر نادرست است آن را مي‌پذيريم و احتمال آن با نماد β بيان مي‌شود (لوين و رابين، 1395، ج2، ص99).
1-6-4. نقش خطاها در فرضيه‌هاي آماري
الف) تنظيم فرضيه
خطاهاي نوع اول و نوع دوم در تحقيقات کمّي کارايي دارد و براي متغيرهاي قابل اندازه‌گيري است. بنابراين فرضيه‌هاي تحقيق در پژوهش بايد به نحوي تنظيم شود که آزمون‌پذير يا استنباطي باشد. «ملاک تعيين قابليت اندازه‌گيري متغيرها، تعريف عملياتي است» (دلاور، 1403، ص78). مثال: بين توانايي تفکر انتقادي و موفقيت دانش‌آموزان رابطه وجود دارد (کرسول، 1391، ص122).
ب) تحليل و تفسير خطاي نوع اول (ديدگاه‌ها)
در علوم تربيتي و تربيت بدني، در عمل پذيرش سطح 5% و 1% معناداري براي پژوهشگران معمولي است. به‌عبارت ديگر،‌ قبول سطح 5% معناداري در رد يک فرضيه بدين معناست که با احتمال 95 درصد، تصميمِ گرفته‌شده درست است؛ فقط 5% احتمال دارد که فرض صفر درست باشد و ما آن را رد کرده‌ايم. هنگامي که فرض صفر درست است، ولي ما آن را رد مي‌کنيم، مرتکب اشتباه شده‌ايم که به آن «خطا / اشتباه نوع اول» گفته مي‌شود. احتمال بروز خطاي نوع اول را مي‌توان با انتخاب سطوح دقيق‌تر نظير يک‌در‌هزار (001% > p) و يا با افزايش حجم نمونه کاهش داد (کوهن و هاليدي، 1399).
از نظر منطقي يک پژوهشگر مي‌تواند مرتکب هر دو نوع خطا شود. خطاي نوع اول وقتي رخ مي‌دهد که پژوهشگر مي‌گويد: رابطه وجود دارد، درحالي‌که درواقع رابطه‌اي وجود ندارد. اين به‌معناي رد کردن اشتباه فرضية صفر است (نيومن، 1399، ص282).
ج) تحليل و تفسير خطاي نوع دوم (ديدگاه‌ها)
قبول يا تأييد فرض صفر هنگامي که اين فرض به‌واقع نادرست است و بايد رد شود، «خطاي نوع دوم» ناميده مي‌شود. بنابراين اگر احتمال بروز خطاي نوع اول کاهش پيدا کند، احتمال وقوع خطاي نوع دوم افزايش مي‌يابد. بيشتر محققان مي‌کوشند احتمال ارتکاب خطاي نوع اول را کاهش دهند (کوهن و هاليدي، 1399). خطاي نوع دوم وقتي رخ مي‌دهد که پژوهشگر مي‌گويد: رابطه وجود ندارد، در‌حالي‌که به‌واقع وجود دارد و اين به‌معناي به‌اشتباه پذيرفتن فرضية صفر است (نيومن، 1399، ص282).
1-ج) رابطة توان و خطاها
توان رسماً به‌مثابة اين احتمال است که خطاي نوع دوم وجود نخواهد داشت؛ يعني به اين احتمال تصميم‌گيري صحيح که وضعيت‌ها تأثير دارند، تعريف مي‌شود. به‌عبارت ديگر، توان به‌مثابة اين احتمال که آزمايشگر در انجام آزمايش مرتکب خطاي نوع دوم نشود، تعريف مي‌گردد (بوني فيس، 1388). احتمال خطاي نوع دوم β يا مفهوم مقابل آن، يعني توان آزمون β-1 است. مقدار α هميشه کمتر از مقدار β است. اگرچه مقدار (خطاي نوع اول) به‌طور قراردادي تعيين مي‌شود، ولي براي β قرارداد خاصي وجود ندارد. با وجود اين، در بيشتر موارد، مقدار را 20% يا کمتر در نظر مي‌گيرند (وزيري و ديگران، 1394).
د) خطاي نمونه‌گيري (ديدگاه‌ها)
مفهوم «خطاي استاندارد» (اصطلاح حد خطا يا خطاي نمونه‌گيري) محور اصلي نظرية نمونه‌گيري و تعيين حجم نمونه است و اين همان قضية حد مرکزي يا توزيع نمونه‌گيري ميانگين است (فرانکفورد و نچمياس، 1390، ص277ـ283). «خطاي نمونه‌گيري» (خطاي استاندارد يا حاشية خطا) درجه‌اي است که بر اساس آن، آمار يک نمونه مي‌تواند با ارزشي که بايد به دست مي‌آمد، تفاوت داشته باشد، درصورتي‌که داده‌ها از جامعة آماري پيمايش جمع‌آوري شده باشند.
خطاي نمونه‌گيري تحت تأثير دو عامل قرار دارد:
1. ميزان پراکندگي مسئله يا متغيري که اندازه‌گيري مي‌شود.
2. اندازة نمونه.
اگر بيشتر اعضاي نمونه با مسئلة خاص تحت پيمايش موافق باشند، خطاي نمونه‌گيري در داده‌هاي جمع‌آوري‌شده حداقل است. به همين‌سان، خطاي نمونه‌گيري در آمار به‌دست‌آمده از يک نمونة بزرگ، پايين است. علاوه بر اين، با افزايش اندازة نمونه، توان آماري نيز افزايش مي‌يابد (ادواردز و ديگران، 1384، ص95).
خطاي نمونه‌گيري ضرورتاً نتيجة اشتباه نمونه‌گيري نيست. اين خطا ممکن است به علت اختلاف‌هاي فاحش در بين آزمودني‌ها باشد. مثال: اگر نمونه‌هاي متفاوت و نسبتاً زيادي را از جامعه‌اي انتخاب کنيم و ميانگين‌هاي آنها را محاسبه کنيم، ملاحظه خواهيم کرد که ميانگين‌هاي محاسبه‌شده با هم تفاوت دارند. بعضي از آنها خيلي بزرگ، برخي از آنها خيلي کوچک و تعداد زيادي از آنها از نظر مقداري، در حد متوسط هستند. اين پديده را مي‌توان با استفاده از قضية «حد مرکزي» که خود از قانون احتمال گرفته شده است، توضيح داد (دلاور، 1400، ص284).
شناخت خطاي نمونه‌گيري مسئله‌اي اساسي در تعميم نتايج از يک نمونة احتمالي به جمعيت مورد مطالعه و شاخصي براي صحت نمونه‌گيري است و در يک نمونة مفروض، به‌وسيلة خـطاي استانـدارد نشان داده مي‌شود (رايف و ديگران، 1391).
مثال: فرض کنيد قريب سي‌هزار معلم در يک استان خدمت مي‌کنند و متوسط سن آنها 65/37 سال است. اگر يک نمونة تصادفي با حجم بيست تن را از اين جامعه انتخاب کنيد، احتمال دارد به طور تصادفي ميانگين 22/34 به‌دست آيد. اما اگر يک نمونه با حجم هزار معلم را انتخاب کنيد احتمال خيلي کمي وجود دارد که ميانگين محاسبه‌شده بيش از چنددهم با ميانگين جامعه تفاوت داشته باشد. تفاوت ميانگين نمونه يا شاخص آماري ديگر ـ مثلاً، انحراف استاندارد ـ از مقدار جامعه را «خطاي نمونه‌گيري» مي‌نامند (گال و ديگران، 1401، ص364).
به نظر دانيل رايف و ديگران، شناخت خطاي نمونه‌گيري مسئله‌اي اساسي در تعميم نتايج از يک نمونة احتمالي به جمعيت مورد مطالعه است. خطاي نمونه‌گيري شاخصي براي صحت نمونه‌گيري است و در يک نمونة مفروض، به‌وسيلة خـطاي استانـدارد نشان داده مي‌شود. نحوة محاسبة خطاي استاندارد ميانـگين و خطاي استاندارد متفاوت است و خطاي استاندارد ميانگين با استفاده از انحراف استاندارد نمونه به‌دست مي‌آيد، بدين‌ صورت که انحراف استاندارد به ريشة دوم حجم نمونه تقسيم مي‌شود. خطاي استاندارد ميانگين در سطح سنجش فاصله‌اي و نسبي به‌کار مي‌رود.
معادلة خطاي استاندارد ميانگين به شرح ذيل است: S_(E (m) )=SD/(n-1) حجم نمونه: n و انحراف استاندارد: SD. در داده‌هاي سطح سنجش طبقه‌اي از معادله‌اي متشابه خطاي استاندارد و نسبت‌ها استفاده مي‌کنند. معادله‌ براي خطاي استاندارد نسبت‌ها چنين است:S_(E (m) )=√(p.q)/(n-1)   خطاي استاندارد نسبت‌ها: SEM)). نسبتي از نمونه که داراي ويژگي مورد نظر است: P، q= (1-p) ، حجم نمونه:  n(رايف و ديگران، 1391، ص101).
زماني که حجم جامعة نمونه بيش از 5% باشد در آن صورت در ساختار اشتباه معيار n-1 به جاي n در مخرج محاسبه مي‌شود و هرقدر اشتباه معيار ميانگيني بزرگ‌تر باشد دقت احتمالي کمتر است (ساروخاني، 1399). احتمال اينکه اختلاف مشاهده‌شده ناشي از خطاي نمونه‌گيري باشد 5% است و آن را به صورت p کوچک‌تر از 5% نشان مي‌دهند (5%>P). به همين ترتيب نمرة Z معادل 58/2 به صورت (1%>P) نشان داده مي‌شود. استفاده از «سطح اطمينان» يا «سطح معناداري» 1% سبب کاهش خطاي نوع اول مي‌شود (اسماعيلي و بيابانگرد، 1388، ص131).
نتيجه‌گيري
اين مقاله با هدف کاربرد فرضيه‌هاي آماري صفر و خلاف در تحقيق، خطاهاي نوع اول، نوع دوم و خطاي استاندارد نگاشته شد. خطاهاي نوع اول و نوع دوم و همچنين خطاي نمونه‌گيري با مثال تشريح گرديد. به سؤال‌هاي مطروحه در اين مقاله نيز با استناد به منابع معتبر پاسخ داده شد، دربارة پيدايش فرض خلف بحث شد که بناي آن به افلاطون و منشاً فرض صفر به فيشر مي‌رسد. از فرض خلف كه براي اثبات غيرمستقيم است و براي اثبات قضاياي هندسه استفاده مي‌شود و محقق با ابطال فرض خلف (با اثبات غيرمستقيم) به اثبات 100% قضيه يا گزاره دست پيدا مي‌کند و بحث خطا در كار نيست. اما در پژوهش، چون محقق با نمونه‌گيري سروكاردارد، به جاي فرض خلف، از واژة «فرض صفر» استفاده مي‌کند که نقيض فرضية عملياتي‌شده است و بايد از آزمون‌هاي آماري استفاده کرد تا بتوان نتيجه را تعميم داد.
ممكن است فرض صفر رد يا تأييد شود؛ اما چون نمونه‌گيري با خطا همراه است، براي رد فرضية صفر، نمي‌توان به نتيجه يا استدلال قطعي 100% دست پيدا کرد. به عبارت ديگر، اثبات نمي‌شود، بلكه تأييد يا رد مي‌گردد. بدين منظور، در آمار استنباطي، خطاهاي 5% و 1% پيش‌بيني كرده‌اند و به جاي واژة «اثبات هندسي» از لفظ «معناداري» استفاده مي‌کنند.
بنابراين فرض‌هاي خلف و صفر يكسان نيستند؛ زيرا فرض صفر يك بيان مقداري است كه به صورت متغير صورت‌بندي مي‌شود و بناي رياضي آن برهان خلف است؛ ولي شباهت‌ها و تفاوت‌هايي با هم دارند. بنا بر آنچه گذشت، بايد گفت: فرض خلف معادل نقيض حکم در هندسه و فرض صفر معادل نقيض فرضيه در روش تحقيق است و فرض خلاف معادل حکم در هندسه است كه محقق آرزوي دستيابي به آن را دارد.