روش شناسی پژوهش در علوم انسانی

بررسي ابهامات مقياس‌هاي اندازه‌گيري در پژوهش‌ها و رفع آن
از طريق خواص و قوانين علوم رياضي
 احمد هدايت‌پناه شالدهي         / دکتراي رياضيات، دانشگاه ملي مهارت استان گيلان، دانشکدة دکتر معين رشت    ahmad.hedayatpanah@gmail.com
بدريه هدايت‌پناه/ کارشناس ارشد قرآن، دانشگاه فرهنگيان گيلان    atharhedayatpanah@gmail.com
علي سفيدي/ کارشناس ارشد جغرافيا، دانشگاه فرهنگيان گيلان    hamedsefidi.54@gmail.com
زهرا نامورعرباني/ دکتراي روان‌شناسي، دانشگاه فرهنگيان گيلان    abi.parandeh@yahoo.com
مرضيه هدايت‌پناه شالدهي/ کارشناس ارشد فناوري اطلاعات، دانشگاه ملي مهارت استان تهران، دانشکدة ولي عصر(عج)
‌دريافت: 02/02/1404 ـ پذيرش: 19/05/1404    m.hedayatpanah.86@gmail.com
چکيده
هدف اصلي اين پژوهش بررسي ابهامات موجود در مقياس‌هاي اندازه‌گيري و رفع آنها با بهره‌گيري از خواص و قوانين علوم رياضي است. روش تحقيق از نوع «بنيادي» با رويکردي محض بوده و داده‌ها با استناد به منابع معتبر داخلي و خارجي گردآوري شده‌اند. با وجود مزاياي متعدد، مقياس‌هاي اندازه‌گيري از منظر پژوهشگران علوم انساني با چالش‌هايي همراه‌ است که مهم‌ترين آنها مربوط به مقياس ترتيبي است. نتايج نشان مي‌دهد که مقياس ترتيبي ماهيتي کيفي دارد و تنها اعداد گسسته در آن کاربرد دارند. در اين مقياس، ميانگين قابل تعريف نيست و بنابراين امکان ارتقاي آن به مقياس فاصله‌اي وجود ندارد. استفادۀ نابجا از ميانگين در مقياس ترتيبي موجب بروز خطا در محاسبۀ انحراف معيار، تحليل واريانس، انتخاب آزمون‌هاي آماري، فرض توزيع متعادل و ساير تحليل‌هاي مرتبط مي‌شود. درنتيجه، اعتبار آماري تحقيق زيرسؤال مي‌رود. يافتة ديگر پژوهش آن است که مقياس‌هاي اسمي، فاصله‌اي و نسبي از خاصيت هم‌ارزي رياضي برخوردارند، درحالي‌‌که مقياس ترتيبي فاقد اين ويژگي است. در پايان، مجموعه‌اي از استدلال‌ها و ديدگاه‌ها براي رفع ابهامات مطرح‌شده ارائه گرديده است.
کليدواژه‌ها: آمار، ابهام، اندازه‌گيري، رياضيات، ليکرت، مقياس، قانون.
 
مقدمه
در پژوهش‌هاي علوم انساني، به‌ويژه در حوزه‌هاي روان‌شناسي، علوم تربيتي و جامعه‌شناسي، سنجش و اندازه‌گيري مفاهيم انتزاعي و کيفي همواره يکي از چالش‌هاي اساسي بوده است. ابزارهاي رايج مانند پرسشنامه‌ها و طيف‌هاي نگرش‌سنج، به‌ويژه مقياس ليکرت، به‌طور گسترده براي جمع‌آوري داده‌ها به‌کار مي‌روند؛ اما نحوة تحليل اين داده‌ها و تعيين سطح دقيق اندازه‌گيري آنها اغلب با ابهام و ترديد همراه است. بسياري از پژوهشگران، به‌ويژه در مطالعات کمّي، بدون توجه به ماهيت مقياس‌ها، از روش‌هاي آماري پيمانه‌اي (پارامتريک) استفاده مي‌کنند که ممکن است اعتبار نتايج را تحت تأثير قرار دهد.
اين مقاله با هدف بررسي دقيق ابهامات موجود در سطوح اندازه‌گيري، به‌ويژه مقياس ترتيبي، و تلاش براي رفع آنها با تکيه بر اصول و خواص علوم رياضي تدوين شده است. با بهره‌گيري از مفاهيم بنيادين رياضي مانند روابط هم‌ارزي، دستگاه‌هاي عددي، چهار عمل اصلي، شاخص‌هاي مرکزي و پراکندگي و همچنين تحليل‌هاي آماري توصيفي و استنباطي، تلاش شده است تا چارچوبي روشن و قابل اتکا براي تحليل داده‌هاي علوم انساني ارائه شود.
در اين مسير، ضمن مرور ديدگاه‌هاي متخصصان برجسته، به نقد رويه‌هاي رايج در استفادة نادرست از ميانگين در داده‌هاي ترتيبي پرداخته شده و راهکارهايي عملي براي طراحي بهتر ابزارهاي سنجش و تحليل دقيق‌تر داده‌ها پيشنهاد شده است. اميد است اين نوشتار بتواند گامي مؤثر در جهت ارتقاء دقت روش‌شناسي پژوهش‌هاي علوم انساني و کاهش خطاهاي تحليلي باشد.
تا آنجا که نگارندگان اطلاع دارند، تاکنون نوشتار رسمي و منتشرشده‌اي که به‌صورت تحليلي و با تکيه بر قوانين رياضي به رفع اين ابهامات پرداخته باشد، وجود ندارد.
با توجه به اهميت موضوع، اين مقاله به بررسي برخي چالش‌ها و ابهامات در مقياس ترتيبي با رويکرد ليکرت، از منظر علم دقيق (علوم رياضي) مي‌پردازد. بنابراين، نوشتار حاضر با استناد به منابع معتبر داخلي و خارجي و ديدگاه‌هاي پژوهشگران بين‌المللي، متخصصان آمار و رياضي، با هدف «بررسي ابهام‌ها در مقياس‌هاي اندازه‌گيري و ابهام‌زدايي از طريق خواص و قوانين علوم رياضي» تدوين شده و نظريات و پيشنهادهاي لازم را ارائه مي‌دهد و به پرسش‌هاي بنيادين در اين زمينه پاسخ خواهد داد.
1. اندازه‌گيري
دانشي که بر اساس نگاه‌هاي فرااثبات‌گرايانه شکل مي‌گيرد، مبتني‌بر مشاهده و اندازه‌گيري است؛ يعني بر پديده‌هايي که خارج از ذهن انسان و در جهان واقعي وجود دارند. ازاين‌رو تدوين سنجه‌هاي عددي، مشاهده و مطالعة رفتار فردي به محور مهم پژوهش براي پژوهشگر فرااثبات‌گرا تبديل مي‌شود. در نهايت، فرااثبات‌گرايان بر اين باورند که قوانين يا نظرياتي بر جهان حاکم‌اند که بايد آنها را آزمود، به‌صورت پژوهشي اثبات کرد و پالايش نمود تا بتوان جهان را بهتر درک کرد (کرسول، ۱۳۹۴، ص۲۸).
براي انجام تحقيقات علمي، پديده‌هاي مورد مطالعه بايد قابل مشاهده و اندازه‌گيري باشند؛ يعني بايد به‌صورت کاملاً دقيق تعريف شوند (بريتيوم و لامورو، ۱۳۹۵، ص۴۷). پژوهشگران پس از مشخص کردن مسئلة پژوهش، براي پاسخ به پرسش‌ها يا آزمودن فرضيه‌ها با دو چالش اساسي مواجه‌اند:
الف) چگونه مطالعه را طراحي کنند؟
ب) چگونه متغيرها را اندازه‌گيري کنند؟
اين مقاله به‌نوعي به بررسي مقياس‌هاي اندازه‌گيري مي‌پردازد. به‌ نظر چاوا و نچمياس، «اندازه‌گيري عبارت است از: اختصاص دادن اعداد يا شماره‌ها براساس قواعد به موضوعات، حوادث يا متغيرها. به‌عبارت ديگر، سه مفهوم اصلي بايد در تعريف اندازه‌گيري مد نظر قرار گيرد: شماره‌ها، اختصاص دادن و قواعد». همچنين اندازه‌گيري با تعاريف عملياتي رابطة نزديکي دارد. به‌طورکلي، روش‌هاي اندازه‌گيري مانند پلي، سطوح مفهومي ـ نظري را به سطح مشاهده‌اي ـ تجربي پيوند مي‌دهند (ر.ک. چاوا و نچمياس، ۱۳۹۶).
در فرايند اندازه‌گيري، ويژگي‌ها يا صفات اشيا و افراد تعيين مي‌گردند و مقدار آنها به ‌صورت عدد يا رقم گزارش مي‌شود. اين اعداد ويژگي‌هاي متفاوتي دارند که آنها را «مقياس‌هاي اندازه‌گيري» (scales of measurement) مي‌نامند (سيف، ۱۴۰۱).
پژوهشگران در پژوهش‌هاي کمّي، سه سطح را با حرکت قياسي به متغير عيني پيوند مي‌دهند:
۱. مفهوم‌سازي متغير؛
۲. ارائة تعريف مفهومي روشن؛
۳. تدوين تعريف عملياتي يا مجموعه‌اي از مؤلفه‌ها و به‌کارگيري آنها در جهان تجربي.
در مقابل، پژوهشگران کيفي عمدتاً مسير استقرايي را دنبال مي‌کنند. آنها کار خود را با داده‌هاي تجربي آغاز کرده، ايده‌هاي انتزاعي را توسعه مي‌دهند، بر فرايند پيوند طرح‌ها و داده‌ها تمرکز مي‌کنند و در نهايت، پژوهش را با ترکيبي از داده‌ها و مفاهيم به پايان مي‌رسانند (نيومن، ۱۳۹۹).
1-1. مقياس‌هاي اندازه‌گيري استيونس (سطوح سنجش)
استيونس (S.S.Stevens) در مقالۀ بنيادي خود در سال ۱۹۴۶ ميلادي، چهار نوع مقياس را معرفي کرد که به‌عنوان «سطوح سنجش» (Level of Measurement) يا «مقياس‌هاي اندازه‌گيري» شناخته مي‌شوند. هريک از اين مقياس‌ها داراي قوانين و محدوديت‌هاي خاص خود هستند. اين مقياس‌ها عبارت‌اند از:
ـ مقياس اسمي (Nominal)؛
ـ مقياس ترتيبي (Ordinal)؛
ـ مقياس فاصله‌اي (Interval)؛
ـ مقياس نسبي (Ratio) (بهبوديان ،1401 ص19).
به‌گفتة بهبوديان، «مقياس‌هاي اسمي و ترتيبي براي داده‌هاي گسسته و مقياس‌هاي فاصله‌اي و نسبي براي داده‌هاي پيوسته کاربرد دارند» (بهبوديان ،1401 ص19).
همچنين گال و ديگران معتقدند: اندازه‌گيري در تحقيقات تربيتي معمولاً به يکي از سه صورت «پيوسته»، «رتبه‌اي» و «طبقه‌اي» بيان مي‌شود (گال و ديگران، ۱۴۰۱). در تحقيقات مديريتي نيز سه نوع دادة اصلي، يعني «فاصله‌اي»، «ترتيبي» و «اسمي» مورد استفاده قرار مي‌گيرند (استرباي و ديگران، ۱۳۸۹، ص۲۲۸).
استرباي «فاصله‌اي» و «نسبي» را فاصله‌اي قلمداد کرده است، درحالي‌که با هم اختلاف زيادي دارند. براي مثال، در مقياس فاصله‌اي، صفر مطلق وجود ندارد، اعمال ضرب و تقسيم در آن تعريف نمي‌شود. وزيري و ديگران نيز به صورت فاصله‌اي استفاده کرده‌اند (وزيري و ديگران، 1394، ص53).
سطح اسمي، پايين‌ترين سطح اندازه‌گيري است. در اين سطح، اعداد يا نمادها صرفاً براي طبقه‌بندي موضوعات و مشاهدات به‌کار مي‌روند و تشکيل‌دهندة مقياس اسمي يا طبقه‌اي هستند (چاوا و نچمياس، ۱۳۹۶). داده‌هاي اسمي داده‌هاي شمرده‌شده‌اند؛ هر فرد تنها عضو يک مجموعه است و ساير اعضاي آن مجموعه نيز همان خصيصه‌ي تعريف‌شده را دارند (بست، ۱۳۹۰).
سطح بعدي، مقياس ترتيبي (رتبه‌اي) است که همانند مقياس اسمي به طبقه‌بندي و نام‌گذاري مي‌پردازد و علاوه بر آن، ترتيب طبقات را نيز مشخص مي‌کند. سنجه‌هاي ترتيبي نوعي تفاوت را نشان مي‌دهند و طبقات را مي‌توان رتبه‌بندي کرد (نيومن، ۱۳۹۹). براي مثال، در طبقه‌بندي‌هايي مانند طبقة اجتماعي يا پاسخ به يک پرسشنامه با گزينه‌هايي همچون «کاملاً موافقم»، «موافقم»، «نه موافقم، نه مخالف»، «مخالفم»، «کاملاً مخالفم»، مي‌توان طبقات را مرتب کرد، اما نمي‌توان مطمئن بود که تفاوت ميان «موافقم» و «کاملاً موافقم» به همان اندازة تفاوت ميان «نه موافقم، نه مخالف» باشد. تنها با بررسي طبقه‌بندي‌هايي نظير سن، وزن يا حقوق است که مي‌توانيم مطمئن شويم فاصلة بين 25 ساله‌ها و 30 ساله‌ها به اندازة فاصلة بين 47 ساله‌ها و 52 ساله‌هاست (استر باي و ديگران، 1389، ص228).
در مقابل، در مقياس فاصله‌اي، طبقه‌بندي مقولات هم داراي ترتيب هستند و هم فاصلة مشخص و عددي ميان آنها وجود دارد (طالقاني، ۱۳۸۱). براي مثال، اگر هوشبهر فردي ۵۰، ديگري ۱۰۰ و نفر سوم ۱۵۰ باشد، مي‌توان گفت: فاصلة نمرة اول و دوم برابر با فاصلة نمرة دوم و سوم است؛ اما نمي‌توان گفت که نفر دوم دو برابر نفر اول هوشبهر دارد (خلعتبري، ۱۳۹۰).
سطح نسبي دقيق‌ترين سطح اندازه‌گيري است. هنگامي‌که متغيرها داراي نقطة صفر حقيقي، مطلق و ثابت باشند، مي‌توان آنها را در اين سطح اندازه‌گيري کرد. به‌عنوان يک قاعده، صفاتي که در سطوح بالاتر قابل اندازه‌گيري‌اند، در سطوح پايين‌تر نيز قابل اندازه‌گيري هستند؛ اما عکس آن امکان‌پذير نيست (چاوا و نچمياس، ۱۳۹۶).
متغيرهايي که در سطح فاصله‌اي سنجيده شده‌اند، در موارد خاصي قابل تقليل به سطح ترتيبي يا اسمي هستند. به‌طورکلي، توصيه مي‌شود متغيرها در بالاترين سطح مقتضي سنجيده شوند (دواس، ۱۳۹۷).
سطوح چهارگانة اندازه‌گيري، از پايين‌ترين دقت تا بالاترين دقت عبارت‌اند از: اسمي، ترتيبي، فاصله‌اي و نسبي (نيومن، ۱۳۹۹). چنانچه در يک مقياس، چهار نوع رابطة زير برقرار باشد، آن مقياس نسبي خواهد بود:
۱. معادل بودن (همتراز بودن)؛
۲. بزرگ‌تر بودن؛
۳. مشخص بودن ميزان فاصله بين دو واحد؛
۴. داشتن نقطة صفر حقيقي (چاوا و نچمياس، ۱۳۹۶).
جدول (۱) سطوح اندازه‌گيري و ويژگي‌هاي مشخص‌کنندة هريک از مقياس‌ها را بر اساس ويژگي‌هاي رياضياتي (نظير فقدان ترتيب، فقدان صفر، فقدان فواصل ثابت) تعريف مي‌کند و نشان مي‌دهد که مقياس نسبي دقيق‌تر از ساير مقياس‌هاست.
جدول 1: سطوح اندازه‌گيري بر اساس ويژگي‌هاي رياضياتي
سطح    رتبه‌بندي    معادل بودن    بزرگ‌تر بودن    فاصله‌هاي مشخص    صفر حقيقي
اسمي    خير    بله    خير    خير    خير
ترتيبي    بله    بله    بله    خير    خير
فاصله‌اي    بله    بله    بله    بله    خير
نسبي    بله    بله    بله    بله    بله
2-1. توانايي‌هاي مقياس‌هاي اندازه‌گيري
هريک از مقياس‌هاي اندازه‌گيري، توانايي خاصي در تحليل داده‌ها دارند و نوع اطلاعاتي که ارائه مي‌دهند، متفاوت است:
1-2-1. مقياس اسمي
اين مقياس تنها مي‌تواند وجود يا عدم وجود تفاوت را مشخص کند؛ يعني در پاسخ به اين پرسش که «آيا تفاوتي وجود دارد؟» بگويد: بلي يا خير. همچنين بررسي مي‌کند که آيا تغيير در يک متغير با تغيير در ساير متغيرها همراه است يا خير. اين مقياس صرفاً رابطة کيفي بين متغيرها را نشان مي‌دهد و قادر به تعيين جهت رابطه نيست.
2-2-1. مقياس ترتيبي
اين مقياس علاوه بر تشخيص تفاوت، جهت آن را نيز مشخص مي‌کند؛ يعني مي‌تواند بگويد: کدام مقدار کمتر و کدام بيشتر است. از نظر تحليل فراواني تجمعي، مقياس ترتيبي نسبت به ساير مقياس‌ها کارايي بالاتري دارد.
3-2-1. مقياس فاصله‌اي
با استفاده از اين مقياس، مي‌توان هم جهت تفاوت و هم مقدار آن را کشف کرد. فاصلة بين مقادير در اين مقياس، عددي و قابل اندازه‌گيري است؛ اما فاقد نقطة صفر مطلق است.
4-2-1. مقياس نسبي
اين مقياس کامل‌ترين نوع سنجش را ارائه مي‌کند و به ما اجازه مي‌دهد تا جهت، مقدار و نسبت تفاوت را به‌صورت دقيق تعيين کنيم (فورزانو و فردريک، ۱۴۰۱).
3-1. ابهام‌هاي اندازه‌گيري در مقياس‌هاي چهارگانه
ابهام‌هاي اندازه‌گيري را مي‌توان در تمام مقياس‌ها بررسي کرد. اين ابهام‌ها عمدتاً در سه محور قابل تحليل‌اند:
الف) ابهام ميان مقياس‌هاي اسمي و ترتيبي؛
ب) ابهام ميان مقياس‌هاي ترتيبي و فاصله‌اي؛
ج) ابهام ميان مقياس‌هاي فاصله‌اي و نسبي.
در اين مقاله، تمرکز بر ابهام‌هاي ميان مقياس‌هاي ترتيبي و فاصله‌اي است. به‌نظر فورزانو و فردريک، اگرچه بسياري از اندازه‌گيري‌ها به‌وضوح در يکي از دو دستة ترتيبي يا فاصله‌اي طبقه‌بندي مي‌شوند، اما مواردي نيز وجود دارد که به‌روشني در هيچ‌يک از اين مقوله‌ها جاي نمي‌گيرند. اين ابهام، به‌ويژه در پژوهش‌هاي علوم رفتاري، بيشتر مشاهده مي‌شود؛ جايي که پژوهشگران معمولاً متغيرها را با استفاده از مقياس‌هاي رده‌بندي اندازه‌گيري مي‌کنند.
براي مثال، از شرکت‌کنندگان خواسته مي‌شود که ميزان موافقت يا مخالفت خود با جملات پرسشنامه را در قالب مقياسي از ۱ تا ۵ به صورت جدول (2) بيان کنند.
جدول 2: نمايش نحوة تخصيص عددي
کاملاً موافق    تاحدي موافق     نظري ندارم    تاحدي مخالف    کاملاً مخالف
1    2    3    4    5
اگرچه به نظر مي‌رسد گزينه‌هاي جدول (2) در يک مقياس فاصله‌اي با فاصلة يکسان بين اعداد متوالي را تشکيل مي‌دهند، اما آيا فاصله بين «کاملاً موافق» و «تاحدي موافق» و «تاحدي مخالف» دقيقاً به‌اندازة فاصلة بين «نظري ندارم» و «تا حدي مخالف» است؟ آيا مقياس بايد فاصله‌اي قلمداد شود يا ترتيبي؟ (فورزانو و فرديک، 1401).
از سوي ديگر، يکي از خطا‌هاي مشهود در روش‌هاي علم اجتماعي، داده‌هاي تجربي ناظر بر نمرة مقياس ليکرت است. خطاي مقياس ليکرت از اين اصل منطقي ناشي مي‌شود که «جمع نقيضين محال است». در محاسبات آماري، زماني که نمرات ناظر بر پاسخ‌هاي «کاملاً مخالف» و «مخالف» با نمرات پاسخ‌هاي «کاملاً موافق» و «موافق» جمع بسته مي‌شوند، اين اصل منطقي نقض مي‌شود (ساعي، 1400).
اين نوع پرسش‌ها نشان مي‌دهند که اندازه‌گيري بايد مبتني‌بر قاعده يا قانون باشد. قواعد اندازه‌گيري ماهيتي رياضي دارند؛ همانند محاسبات دقيق در حوزه‌هايي همچون راه‌سازي، ساختمان‌سازي، پرتاب موشک و ماهواره و هواپيماسازي، که از اصول رياضي مانند هندسه، مشتق، انتگرال و واحدهاي سنجش بهره مي‌برند. اين قواعد در رياضيات با عنوان «تابع، ضابطه يا قانون» شناخته مي‌شوند.
اساساً خلقت بشري نيز بر پاية قانون است؛ مانند برهان نظم.
به‌ نظر کارناپ (1393)، قانون گزاره‌اي است که به‌صورت منظم متجلي مي‌شود و بر دو گونه است: الف) قانون جهان‌شمول؛ ب) قانون آماري.
در حالت اول، از منطق استنتاجي استفاده مي‌شود و در حالت دوم، منطق احتمالات به‌کار مي‌رود و پيش‌بيني‌ها ماهيتي احتمالي دارند.
در دنياي متجدد و صنعتي، اغلب انسان‌ها با قوانين آماري آشنا هستند و تمايل آنها به زندگي بر اساس قانون رو به افزايش است. با اين‌ حال، گاهي در زندگي روزمره، افراد با مفاهيم، متغيرها يا سازه‌هايي مواجه مي‌شوند که قانونمند نيستند، بلکه صرفاً رابطه‌اند. به‌عبارت ديگر، هر تابعي رابطه است، اما عکس آن لزوماً صادق نيست.
براي مثال،{ (2,3)، (3و1)، (4و3) }= f و y=x2+4 تابع (يا قانون) هستند، اما {(3،7)، ( (3 ،1)، (3،4) }= g , و +X2=3 Y2 تابع (قانون) نيستند، بلکه رابطه هستند.
به ‌نظر کرلينجر، اعضاي يک مجموعه با اعضاي مجموعة ديگر از طريق قاعدة «انطباق» مرتبط مي‌شوند. قاعدة «انطباق» توصيف يا فرمولي است که به ما مي‌گويد: چگونه اشياء يک مجموعه را با اشياء مجموعة ديگر مرتب کنيم (کرلينجر، 1398).
علاوه‌ بر اينکه در زندگي اجتماعي با همبستگي و وابستگي سروکار داريم، در امور علمي ـ پژوهشي، به‌ويژه در علوم انساني نيز با روابط و قوانين متعددي مواجه هستيم. بسياري از اين روابط از مقياس‌ها و اندازه‌گيري‌ها الهام مي‌گيرند و داراي علل مختلفي‌اند. يکي از مهم‌ترين علل، تفسير و استفادة نادرست از روش‌هاي آماري و رياضي است که منشأ برخي از اين ابهامات محسوب مي‌شود.
به‌ويژه استفاده از مقياس‌هاي چهارگانه، با وجود نقش بي‌بديل در ابزارهاي اندازه‌گيري و جمع‌آوري داده‌ها، به‌خصوص در تحقيقات پيمايشي، گاه موجب سردرگمي و چالش در ميان پژوهشگران مي‌شود. حتي در ميان متخصصان نيز اختلاف‌نظرهايي وجود دارد؛ چنان‌که پيرسون فيشر را به‌ سبب استفاده از آزمون «خي ـ دو» مورد انتقاد قرار داد.
در هر حال، پژوهشگران و متخصصان آمار و رياضي در تلاش‌اند تا راه‌‌حلي براي رفع ابهامات و چالش‌هاي موجود در مقياس‌هاي اندازه‌گيري بيابند.
1-4. سؤال‌ها
1. در مقياس‌هاي اندازه‌گيري چه ابهام‌هايي وجود دارد؟
2. چرا بايد از محاسبه ميانگين در مقياس ترتيبي پرهيز کرد؟
3. مقياس‌هاي اندازه‌گيري با رابطه‌هاي هم‌ارزي رياضيات چه اندازه مطابقت دارند؟
4. چهار عمل اصلي چه جايگاهي در مقياس‌هاي اندازه‌گيري دارند؟
5. دستگاه‌هاي اصلي رياضيات چه جايگاهي در مقياس‌هاي اندازه‌گيري دارند؟
6. شاخص‌هاي مرکزي چه جايگاهي در مقياس‌هاي اندازه‌گيري دارند؟
7. براي رفع ابهام‌ها چه پيشنهادها يا نظرياتي وجود دارند؟
۲. روش‌شناسي تحقيق
1-2. روش تحقيق
روش تحقيق در اين مطالعه از نوع «بنيادي نظري» است. پژوهش‌هاي بنيادي اهدافي را دنبال مي‌کنند؛ همچون: ۱. اکتشاف؛ ۲. توصيف؛ ۳. تبيين؛ ۴. فهم؛ ۵. پيش‌بيني (بليکي، ۱۳۹۵، ص۱۰۱).
در اين ميان، پژوهش تبييني رايج‌ترين نوع تحقيق بنيادي محسوب مي‌شود (نيومن، ۱۳۹۹، ص68ـ72). تحقيق بنيادي با هدف کسب دانش علمي جديد، صرفاً به ارائة نظريه‌ها و قوانين کلي مي‌پردازد که معمولاً در نشريات علمي منتشر مي‌شود يا به دانشگاه‌ها ارسال مي‌گردد (هدريک و ديگران، ۱۳۸۱). اين نوع تحقيق که به‌صورت محض يا نظري انجام مي‌شود، غالباً در محيط‌هاي دانشگاهي اجرا شده و هدف اصلي آن توسعة نظريه‌هاست. حال ممکن است اين نظريه‌ها در عمل به‌کار گرفته شوند يا نه.
توسعة نظريه‌ها در تحقيقات بنيادي مي‌تواند به سه شکل صورت گيرد: اکتشاف؛ ابداع؛ انعکاس. (ايسترباي و ديگران، ۱۳۸۴).
تحقيقات بنيادي بر اساس روش تحليل، به دو دسته تقسيم مي‌شوند: الف) تحقيقات تجربي؛ ب) تحقيقات نظري (صبري، ۱۴۰۰).
پژوهشگران از روش پيمايش نيز در تحقيقات بنيادي، به‌ويژه در دانشگاه‌ها و مراکز پژوهشي استفاده مي‌کنند (نيومن، ۱۳۹۹، ص۸۰). اين‌گونه پژوهش‌ها در وهلة نخست توسط روان‌شناسان انجام مي‌شود و سپس توسط مربيان مورد بهره‌برداري قرار مي‌گيرد (بست، ۱۳۹۰).
بسياري از کشفيات بزرگ علمي، مانند کشف جريان برق، اشعۀ ايکس، راديم و انرژي اتمي، از دل پژوهش‌هاي محض و بنيادي پديد آمده‌اند (بوريچ، ۱۳۸۶). بررسي تحول استدلال منطقي در کودکان نيز نمونه‌اي از تحقيقات بنيادي محسوب مي‌شود (سرمد و ديگران، ۱۳۹۶).
۲-۲. ابزارها و روش‌هاي جمع‌آوري داده‌ها
الف) ابزار تحقيق، کتاب‌هاي دست اول در روش‌هاي تحقيق، آمار و رياضيات در سطوح ملي و بين‌المللي است.
ب) گردآوري محتوا و داده‌ها، به صورت کتابخانه‌اي انجام شده است.
با توجه به نوآوري موضوع مقاله و فقر يا فقدان مقالات تخصصي در اين زمينه، داده‌ها با استناد به منابع مستند و دست ‌اول، ازجمله کتاب‌هاي معتبر دانشگاهي و علمي ـ پژوهشي داخلي و بين‌المللي گردآوري شده‌اند. اين منابع متعلق به نويسندگان صاحب‌نظر در حوزه‌هاي گوناگون علوم انساني، ازجمله روان‌شناسي، سنجش و اندازه‌گيري، علوم اجتماعي، علوم تربيتي، علوم رياضي و آمار بوده‌اند.
همچنين تحليل تجربيات نگارندگان طي بيش از سه دهه فعاليت مستمر علمي و عملي در حوزه‌هاي رياضي، آمار و روش تحقيق، نقش مهمي در غناي داده‌ها و اعتبار علمي اين پژوهش داشته است.
۳. يافته‌ها
سؤال (1): در مقياس‌هاي اندازه‌گيري چه ابهام‌هايي وجود دارد؟
پاسخ: دربارة نحوة استفاده از مقياس‌هاي اندازه‌گيري، به‌ويژه مقياس ترتيبي، و تبديل آن به طيف ليکرت و ارتقاي آن به مقياس فاصله‌اي، اختلاف‌نظرهاي قابل‌‌توجهي وجود دارد. مقياس ترتيبي فاقد فواصل قابل‌ تفسير است. به‌عبارت ديگر، فاصلة روان‌شناختي ميان گزينه‌هايي مانند «خوب» و «خيلي خوب» مشخص نيست و نمي‌توان با قطعيت گفت که اين فاصله برابر با فاصلة ميان «نظري ندارم» و «تاحدي مخالفم» است.
اين ابهام، به‌ويژه در تحليل‌هاي آماري و استفاده از آزمون‌هاي مبتني بر داده‌هاي فاصله‌اي، چالش‌برانگيز است؛ زيرا استفادة نادرست از ميانگين، انحراف معيار و آزمون‌هاي استنباطي براي داده‌هايي که ماهيت ترتيبي دارند، ممکن است منجر به نتايج نادرست و تفسيرهاي گمراه‌کننده شود.
براي روشن‌تر شدن اين چالش، در ادامه به ديدگاه‌هاي تعدادي از صاحب‌نظران، پژوهشگران و کاوشگران داخلي و بين‌المللي در حوزه‌هاي علوم انساني، آمار، روان‌شناسي و سنجش و اندازه‌گيري اشاره خواهد شد تا ابعاد نظري و عملي اين ابهام به‌صورت دقيق‌تر بررسي شود.
1-3. ابهام‌ها
1-1-3. ابهام در مقياس‌هاي ترتيبي و فاصله‌اي
در روان‌شناسي، علوم تربيتي و ساير حوزه‌هاي علوم انساني، پژوهشگر خواهان آن است که اندازه‌هاي آماري تا سطح مقياس فاصله‌اي داراي ارزش رياضي باشند. با اين حال، دستيابي به چنين هدفي بسيار نادر است. در بسياري از پژوهش‌هاي علوم تربيتي و روان‌شناسي، فرض مي‌شود که اطلاعات آماري داراي ارزش مقياس فاصله‌اي هستند (لطف‌آبادي، ۱۳۹۴). گاهي پژوهشگر وسوسه مي‌شود که داده‌هاي ترتيبي را مانند داده‌هاي فاصله‌اي در نظر بگيرد و از آمارهاي پيمانه‌اي براي تحليل آنها استفاده کند. بايد صريح و بي‌پرده گفت که اين رويه نادرست است؛ اما درخصوص نمونه‌هاي بزرگ و ابعاد پيوسته نظير «کاملاً موافقم» تا «کاملاً مخالفم»، نتايج اغلب دقيق و مفيد هستند (ايسترباي و ديگران، ۱۳۸۴).
رايج‌ترين مقياس‌هايي که در روان‌شناسي و علوم تربيتي با آنها سروکار داريم، دو مقياس «اسمي» و «ترتيبي» هستند. اطلاعات حاصل از اين مقياس‌ها بايد با روش‌هاي آماري غيرپيمانه‌اي تحليل شوند. به‌‌عبارت ديگر، روش‌هاي آماري پيمانه‌اي (مانند ميانگين، انحراف معيار، ضريب همبستگي گشتاوري پيرسون، و تحليل واريانس) را نمي‌توان براي اين نوع داده‌ها به کار برد. اين نکته‌اي مهم است که غالباً از آن غفلت مي‌شود (لطف‌آبادي، ۱۳۹۴).
هنگامي‌که با داده‌هايي در سطح اسمي و رتبه‌اي مواجه هستيم، لازم است از روش‌هاي آماري غيرپيمانه‌اي استفاده کنيم. در تحليل داده‌هاي اسمي و رتبه‌اي، اساساً فرض بر آن است که داده‌ها از توزيع غيرمتعادل (غيرنرمال) برخوردارند (مک‌ناب، ۱۳۹۵). ابزارهاي اندازه‌گيري نظير پرسشنامه‌هاي نگرش‌سنج که از سؤال‌هاي پنج‌درجه‌اي ليکرت يا ترتيبي استفاده مي‌کنند، معمولاً مانند مقياس‌هاي فاصله‌اي به‌کار گرفته مي‌شوند. اما بروگاتا (Brogatta) و بوهنستد (Bohenstedt) استدلال کرده‌اند که مقياس ترتيبي، شکل ضعيفي از مقياس فاصله‌اي است که در آن اطلاعات مربوط به فاصلة بين طبقات از دست رفته است. اين دو پژوهشگر معتقدند: بهتر است متغيرهاي ترتيبي را به‌صورت فاصله‌اي ناقص تصور کنيم، تا اينکه آنها را سطح مستقلي از اندازه‌گيري بدانيم (سيف، ۱۴۰۱).
شايان ذکر است که مقياس ليکرت در دهة ۱۹۳۰ توسط رنسيس ليکرت طراحي شد تا سنجه‌اي ترتيبي براي سنجش نگرش افراد فراهم کند (نيومن، ۱۳۹۹). مقياس ليکرت دست‌کم به دو طبقه نظير «موافقم» و «مخالفم» نياز دارد، اما بهتر است از چهار تا هشت طبقه استفاده شود. سنجه‌هاي مقياس ليکرت در سطح ترتيبي اندازه‌گيري قرار دارند؛ زيرا پاسخ‌ها صرفاً رتبه‌بندي را نشان مي‌دهند. به‌جاي اعداد ۱ تا ۴ يا (۲+) تا (۲-) مي‌توان از اعداد ۵، ۵۰، ۷۰ و ۱۰۰ نيز استفاده کرد. با اين حال، نبايد به‌اشتباه تصور کرد که چون عددي به طبقه‌اي تخصيص داده شده، اختلاف بين طبقات ترتيبي، فاصله‌اي هستند. اگرچه ساختار عددي خواص رياضي زيبايي دارد، اما اعداد صرفاً براي سهولت تحليل به‌کار مي‌روند و اندازه‌گيري اصلي اين مقياس، فقط ترتيبي است (نيومن، ۱۳۹۹).
در حوزة بي‌تفاوتي يا بي‌نظري مطلق، فرد دقيقاً در وضعيت ابهام قرار دارد؛ يعني يا هيچ اطلاعي از موضوع ندارد يا شنيده‌هايش چنان متعارض‌اند که نمي‌تواند تصميم‌گيري کند (ساروخاني، ۱۳93).
در مقياس ترتيبي، نتايج به‌صورت رتبه بيان مي‌شوند؛ يعني آزمودني‌ها برخي عناصر را به‌صورت نزولي يا صعودي مرتب مي‌کنند. در اين مقياس، فاصلة بين رتبه‌ها يکسان نيست. در مقابل، در مقياس فاصله‌اي، نتايج به‌صورت رتبه‌هايي با نظم مشخص قرار مي‌گيرند و فواصل بين ارزش‌ها برابرند، اما فاقد صفر مطلق هستند. مفهوم «صفر مطلق» آن است که بتوان ارزش‌هاي به‌دست‌آمده را در يکديگر ضرب کرد.
مثال: ارقام روي يک زمان‌سنج (مانند ساعت ديواري) يک مقياس فاصله‌اي را تشکيل مي‌دهند. درواقع، ساعت‌ها به فواصل منظم پشت سر هم قرار دارند؛ مثلاً، بين ساعت ۱۳ و ۱۴ همان مقدار زمان طي مي‌شود که بين ساعت ۱۴ و ۱۵. با اين حال، نمي‌توان ساعت‌هاي ثبت‌شده را در هم ضرب کرد؛ مثلاً، اگر دوستي به‌جاي ساعت ۷ صبح، ساعت ۱۴ نزد ما بيايد، نمي‌گوييم: دو برابر تأخير داشته، بلکه مي‌گوييم: ۷ ساعت تأخير کرده است؛ درست مانند اينکه بگوييم: بين ساعت ۱۰ و ۱۷، ۷ ساعت فاصله وجود دارد. همين منطق درخصوص نمرات تحصيلي نيز صدق مي‌کند.
اما مقياس نسبي مشابه مقياس فاصله‌اي است، با اين تفاوت که داراي صفر مطلق نيز هست؛ يعني مي‌توان ارزش‌هاي به‌دست‌آمده را در يکديگر ضرب کرد (بريتيوم و لامورو، ۱۳۹۵، ص۷۷).
نکتة بسيار مهمي که بسياري از پژوهش‌هاي آماري با آن مواجه‌اند اين است که داده‌هايي که از طريق پرسشنامه و طيف ليکرت به‌دست مي‌آيند، پيوسته نيستند و داراي توزيع غيرمتعادل‌اند؛ زيرا در داده‌هاي طيف ليکرت، بين اعداد ۱ تا ۵ نمي‌توان عدد 5/1 يا 5/2 را به‌عنوان ميانگين در نظر گرفت. اين داده‌ها به‌ علت گسسته بودن، غيرمتعادل هستند و اين نيز نوعي ابهام محسوب مي‌شود. به‌طورکلي، داده‌هاي طيف ليکرت غيرمتعادل‌اند. عمده‌ترين ابهام‌ها نيز به‌خاطر استفاده از ميانگين است که همواره چالش‌برانگيز است.
متداول‌ترين ابهام‌ها را بايد در انواع زير جست‌وجو كرد: ابهام‌هاي زباني، ادبي، جناس، و معنايي. ابهام معنايي مانند: 1. تشتّت معنايي در جملات و متون؛ 2. پارادوكس معنايي؛ 3. تصويرهاي انتزاعي؛ 4. باورها و آداب و رسوم؛ 5. ناهمخواني كلمه با مقوله (شيري، 1390).
در ادامه، ديدگاه‌هاي مختلف دربارة ميانگين داده‌هاي سطوح اندازه‌گيري ذکر خواهد شد.
2-1-3. وضعيت ميانگين حسابي در مقياس‌هاي استيونس
«ميانگين» پرکاربردترين سنجة گرايش مرکزي است و تنها براي داده‌هايي با مقياس فاصله‌اي يا نسبي قابل استفاده است (نيومن، ۱۳۹۹). به‌عبارت ديگر، نمي‌توان از ميانگين براي داده‌هاي اسمي يا ترتيبي استفاده کرد (دواس، ۱۳۹۷).
ميانگين‌ها صرفاً براي داده‌هاي فاصله‌اي يا نسبي کاربرد دارند (مک‌ناب، ۱۳۹۵) و باثبات‌ترين شاخص گرايش مرکزي محسوب مي‌شوند که مرکز ثقل داده‌ها را نشان مي‌دهند (خلعتبري، ۱۳۹۹). ميانگين در توزيع‌هايي که بر اساس سطوح فاصله‌اي يا نسبي اندازه‌گيري شده‌اند و قابليت محاسبات رياضي دارند، قابل محاسبه است (فرانکفورد و نچمياس، ۱۳۹۰). همچنين خطاي استاندارد ميانگين نيز تنها در سطح سنجش فاصله‌اي و نسبي به‌کار مي‌رود (رايف و ديگران، ۱۳۹۱).
مقياس‌هاي اسمي و رتبه‌اي براي داده‌هاي گسسته و مقياس‌هاي فاصله‌اي و نسبي براي داده‌هاي پيوسته کاربرد دارند (بهبوديان، ۱۴۰۱). درصورتي‌که مقياس اندازه‌گيري به‌کاررفته فاصله‌اي يا نسبي باشد، ميانگين يک شاخص مناسب محسوب مي‌شود (دلاور، 1399، ص88). ميانگين زماني به‌کار مي‌رود که داده‌ها در سطح فاصله‌اي يا نسبي باشند (دانشجو و ديگران، ۱۳۹۶). زماني که نمرات از مقادير عددي حاصل از مقياس فاصله‌اي يا نسبي تشکيل شده باشند، رايج‌ترين شاخص مورد استفاده، ميانگين است. با اين حال، گاه محاسبة ميانگين غيرممکن است يا ميانگين نمي‌تواند مقدار معرف را به‌درستي نشان دهد (فورزانو و فردريک، ۱۴۰۱).
اعدادي که در مقياس ترتيبي به‌کار مي‌روند، بيانگر کيفيت مطلق موضوع مورد اندازه‌گيري نيستند و نمي‌توان دو طبقه را مساوي فرض کرد (کوهن و هاليدي، ۱۳۹۹، ص۱۱). بنابراين، نمي‌توان ميانگين را در داده‌هاي اسمي يا ترتيبي محاسبه کرد (دواس، ۱۳۹۷). به ‌علت مشخص نبودن فواصل، امکان محاسبات رياضي و آماري در مقياس‌هاي ترتيبي وجود ندارد. ازاين‌رو مقياس‌هاي ترتيبي نيز مانند مقياس‌هاي اسمي در مراحل نخستين تکوين سنجش کيفيت‌ها قرار مي‌گيرند (رفيع‌پور، ۱۳۹۲).
اعداد رتبه‌اي صرفاً ترتيب رتبه را نشان مي‌دهند و نه بيشتر. اين اعداد مقادير مطلق نيستند و دلالت بر آن ندارند که فاصله‌هاي بين آنها برابرند. اگر از مقادير رتبه‌اي به‌گونه‌اي استفاده شود که گويي مقادير فاصله‌اي يا نسبي هستند، احتمالاً در تفسير داده‌ها و روابط استنباط‌شده از آنها دچار اشتباه خواهيم شد (کرلينجر، ۱۳۹۸).
«تمايل مرکزي» اصطلاحي کلي است که براي ميانگين، ميانه يا ارزشي که مي‌تواند بيانگر مجموعه نتايج آزمودني‌ها باشد، به‌ کار مي‌رود. در مقياس‌هاي نسبي و فاصله‌اي، تمايل مرکزي ميانگين حسابي است. در مقياس ترتيبي، ميانه و در مقياس اسمي، «مُد» (نما) به‌عنوان شاخص گرايش مرکزي شناخته مي‌شوند (بريتيوم و لامورو، ۱۳۹۵، ص۷۷).
زماني که نمره‌ها در مقياس فاصله‌اي اندازه‌گيري شده باشند (مانند نمره‌هاي هوش، افسردگي و پرخاشگري) و بتوان آنها را داراي توزيع طبيعي در نظر گرفت و تغييرپذيري آنها يکسان باشد، از آزمون‌هاي پيمانه‌اي استفاده مي‌شود. اما هرگاه اندازه‌گيري در سطح ترتيبي يا اسمي باشد و به‌جاي نمره، با شمارش اسامي سروکار داشته باشيم، از آزمون‌هاي غيرپيمانه‌اي بهره مي‌گيريم (وزيري و ديگران، 1394، ص۵۳).
سؤال (2): چرا بايد از محاسبة ميانگين در مقياس ترتيبي پرهيز کرد؟
پاسخ:
۱. در مقياس ترتيبي، تنها اعداد طبيعي کاربرد دارند و اعداد اعشاري يا کسري در آن جايگاهي ندارند. اگر ميانگين عددي اعشاري به‌ دست آيد، اين عدد با ماهيت مقياس ترتيبي که مبتني بر اعداد صحيح و طبيعي است، ناسازگار خواهد بود.
۲. مقياس ترتيبي داراي رويکردي کيفي و گسسته است (فربد و ديگران، ۱۳۹۴، ص۴۵). مطابق مستندات پيشين، براي مقياس ترتيبي، ميانگين تعريف نمي‌شود. به اذعان قريب به اتفاق پژوهشگران و متخصصان رياضي و آمار، ميانگين تنها در داده‌هاي فاصله‌اي و نسبي معنا دارد.
۳. در طيف‌هاي پنج‌درجه‌اي، پاسخ‌دهندگان از ميزان فاصلة بين گزينه‌ها (مثلاً، «خيلي زياد» و «زياد») اطلاعي ندارند. بنابراين مي‌توان به تعداد پاسخ‌دهندگان، عدد نمادگذاري کرد؛ اما اين با خاصيت فاصله‌اي 〖x_4-x〗_3/(x_2-x_1 ) که بايد نسبت فواصل ثابت باشد، مغايرت دارد. در مقياس ترتيبي، فاصله‌هاي مساوي بين ارزش‌گذاري‌ها وجود ندارند. براي مثال، مي‌توان گفت: «خيلي خوب» بهتر از «خوب» است، اما نمي‌توان با اطمينان گفت که فاصلة بين «خيلي خوب» و «خوب» برابر با فاصلة بين «بد» و «خيلي بد» است (گرين و اليويرا، ۱۳۹۷، ص۳۳).
۴. خالق فرمول همبستگي، اسپيرمن (CHARLES SPEARMAN) در سال ۱۹۴۶ درگذشت، درحالي‌که طيف ليکرت در سال ۱۹۳۰ تدوين شده بود. بديهي است که اسپيرمن از طيف ليکرت اطلاع داشت، اما در فرمول همبستگي خود از ميانگين استفاده نکرد.
۵. اگر در مقياس ترتيبي، x  يک متغير تصادفي از نوع گسسته باشد، آنگاه اميد رياضي آن به‌صورت زير تعريف مي‌شود: E[u(x)] = ∑ u(x)f(x)dx (لوين و رابين، ۱۳۹۵). در اين مقياس، u(x) «اميد رياضي» ناميده مي‌شود (روبرت و آلن، 1388).
اما اگر متغير تصادفي داراي تابع چگالي احتمال f(x) و u(x) تابعي از x بوده و x از نوع پيوسته (يعني داده‌هاي فاصله‌اي يا نسبي) باشد، اميد رياضي با استفاده از انتگرال توزيع متعارل به‌صورت زير محاسبه مي‌شود:
=  1/( σ√2π)  e^((-1)/2  ((x-μ)/σ 〖) 〗^2 ) f (x)، ∫_(-∞)^(+∞)▒〖 u (x) f (x) dx〗  =  ] E [u (x) 
که اين توزيع متعادل پيوسته است و آن را «انتگرال» يا «مجموع پيوسته» مي‌نامند (لوين و رابين، ۱۳۹۵؛ روبرت و آلن، 1388).
۶. اگر براي داده‌هاي ترتيبي ميانگين محاسبه شود، تمام محاسبات وابسته به ميانگين (مانند انحراف معيار، همبستگي پيرسون، گشتاورها، تحليل واريانس، آزمون فرضية صفر، نمودارهاي هيستوگرام و تجمعي و نحوة استفاده از آزمون‌ها) دچار اشکال خواهند شد. به‌طورکلي، داده‌هاي گسسته به‌صورت نادرست به داده‌هاي پيوسته تبديل مي‌شوند و تحليل آماري از نظر رياضي دچار اختلال مي‌شود. به‌‌عبارت ديگر، تحليل نادرست داده‌ها (مانند محاسبة ميانگين از داده‌هاي ترتيبي) مي‌تواند منجر به نتايج نادرست و گمراه‌کننده شود.
به ‌قول صائب تبريزي:
چون گذارد خشت اول بر زمين معمار کج        گر رساند بر فلک باشد همان ديوار کج
(صائب تبريزي، 1384)
سؤال (3): مقياس‌هاي اندازه‌گيري با رابطه‌هاي هم‌ارزي رياضيات چه اندازه مطابقت دارند؟
پاسخ: ابتدا به‌اختصار به مفهوم «روابط هم‌ارزي» (Equivalence Relation) در رياضيات و ويژگي‌هاي آن مي‌پردازيم. رابطة R در مجموعة A زماني «هم‌ارزي» ناميده مي‌شود که سه ويژگي داشته باشد:
۱. انعکاسي: ∀a∈A: (a,a)∈R (∀نماد سور عمومي All)؛ يعني هر عنصر با خودش در رابطه باشد.
۲. تقارني: ∀(a,b)∈A:(a,b)∈R⟺(b,a)∈R (∀نماد سور عمومي All)؛ يعني اگر a با b در رابطه باشد، b  نيز با a در همان رابطه باشد.
۳. تعدي (ترايايي): (a,c)∈R (b,c)∈R & R(a,b)∈؛ يعني اگر a با b و b با c در رابطه باشند، آنگاهa  با c نيز در همان رابطه خواهند بود (ليپ جوتز، ۱۳62). مثال:
الف) انعکاسي: هر خط با خودش موازي است.
ب) تقارني: اگر خط D₁ موازي خط D₂ باشد، آنگاه خط D₂ نيز موازي D₁ است.
ج) تعدي: اگر خط D₁ موازي خط D₂ باشد و خط D₂ موازي خط D₃ باشد، آنگاه خط D₁ نيز موازي خط D₃ خواهد بود.
جدول (3) سطوح اندازه گيري در تطابق با رابطه هم‌ارزي
سطح اندازه گيري    انعکاسي    متقارن    متعدي (انتقالي، تعدي، تراگذري)     رابطة هم ارزي
اسمي    بله    بلي    بلي    بلي
ترتيبي    خير    خير    بلي    خير
فاصله‌اي    بله    بله    بله    بله
نسبي    بله    بله    بله    بله
3-1-3. تفاوت‌هاي منطقي مقياس ترتيبي با ساير مقياس‌ها
در جدول (3) مشاهده مي‌شود که مقياس ترتيبي با سه مقياس ديگر تفاوت‌هاي بنياديني دارد:
الف. ويژگي اساسي مقياس اسمي آن است که ويژگي‌هاي موضوعات در هر مقوله با يکديگر يکسان‌اند. از نظر منطقي، اين مقياس داراي ويژگي‌هاي انعکاس‌پذيري، تقارن و انتقال‌پذيري است. به‌‌عبارت ديگر، اگر دو عنصر در يک گروه قرار گيرند، مي‌توان گفت: هريک با خودش در رابطه است (انعکاسي). اگر يکي با ديگري در رابطه باشد، آن ديگري نيز با اوّلي در همان رابطه است (تقارني). اگر عنصر اول با دوم و دوم با سوم در رابطه باشد، عنصر اول با سوم نيز در همان رابطه قرار دارد (تعدي).
ب. در مقياس ترتيبي، ويژگي منطقي «انعکاس‌ناپذيري» وجود دارد؛ به اين معنا که براي هر a، رابطة a > a برقرار نيست. بنابراين، رابطة «بزرگ‌تر بودن» انعکاس‌ناپذير است. همچنين اين رابطه خاصيت تقارني ندارد؛ زيرا اگرa > b، نمي‌توان گفت: b > a . با اين حال، مقياس ترتيبي داراي خاصيت انتقال‌پذيري است؛ يعني اگر a > b و b > c، آنگاه a > c. اين ويژگي در سنجش‌هاي ترتيبي بسيار مهم و منحصربه‌فرد است. براي مثال، اگر شخص A  محافظه‌کارتر از شخص B باشد و شخص B محافظه‌کارتر از شخص C باشد، آنگاه مي‌توان نتيجه گرفت که شخص A  محافظه‌کارتر از شخص C است (چاوا و نچمياس، ۱۳90).
ويژگي «تعدي» در منطق رياضي همانند متغيرهاي ميانجي عمل مي‌کند. ويژگي «انعکاسي» در رياضيات به تابع تک‌متغيره و جايگاه نقاط نسبت به نيم‌ساز ناحية اول و سوم مختصات دکارتي مربوط مي‌شود. ويژگي «تقارني» نيز همان تقارن محوري است که بر روي نيم‌ساز ترسيم و نمايان مي‌شود. ويژگي «انتقال‌پذيري» نيز در هندسه با همين عنوان شناخته مي‌شود و در ساختارهاي منطقي و رياضي نقش مهمي دارد.
سؤال (4): چهار عمل اصلي چه جايگاهي در مقياس‌هاي اندازه گيري دارند؟
جدول (4) سطوح اندازه‌گيري در تطابق با چهار عمل اصلي و خواص آنها
سطح    جمع    تفريق    ضرب    تقسيم    جابه‌حايي    شرکت‌پذيري    توزيع‌پذيري    عمليات مجاز رياضي
اسمي    خير    خير    خير    خير    خير    خير    خير    خير
ترتيبي    خير    خير    خير    خير    خير    خير    خير    خير
فاصله‌اي    بله    بله    خير    خير    بله    بله (در جمع)    بله (در جمع)    جمع و تفريق
نسبي    بله    بله    بله    بله    بله    بله (در جمع و ضرب)    بله (در جمع و ضرب)    همة عمليات رياضي
پاسخ: جدول (4) نشان مي‌دهد که مقياس‌هاي اسمي و ترتيبي به‌ سبب ماهيت کيفي خود، فاقد قابليت اجراي عمليات رياضي هستند. بنابراين، چهار عمل اصلي رياضي (جمع، تفريق، ضرب و تقسيم) و خواص مربوط به آنها در اين دو مقياس صادق نيستند. به‌عبارت ديگر، براي هر  A، B و C از مجموعة A، ويژگي‌هاي ذيل برقرار نيستند:
الف) شرکت‌پذيري A+ (B+C) = (A+B) +C.
ب) تعويض‌پذيري A+B=B+A.
عمل تفريق، نه تعويض‌پذير است و نه شرکت‌پذير. مثال: 4- (2-5) ≠ (4-2) -5 و 7-3≠3-7
ج) توزيع‌پذيري از چپ A* (B○C) = (a*B) ○ (A*C) (مصاحب، 1385).
اين ويژگي‌ها نشان مي‌دهند که مقياس‌هاي اسمي و ترتيبي فاقد ساختار جبري لازم براي اجراي عمليات رياضي هستند و نبايد در تحليل‌هاي کمي به‌ صورت عددي با آنها رفتار شود.
سؤال (5): دستگاه‌هاي اصلي رياضيات چه جايگاهي در مقياس‌هاي اندازه گيري دارند؟
پاسخ: براي پاسخ به اين پرسش، ابتدا لازم است به‌اختصار به دستگاه‌هاي اصلي اعداد در رياضيات اشاره شود. اين دستگاه‌ها عبارت‌اند از:
ـ اعداد طبيعي {1, 2, 3, …} :(ℕ)؛
ـ اعداد صحيح {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} :(ℤ)؛
ـ اعداد گويا( Q) : شامل کسري‌ها و نسبت‌ها؛
ـ اعداد حقيقي(R) : شامل تمام اعداد پيوسته، اعشاري و غيرگويا.
رابطة زيرمجموعه بودن اين دستگاه‌ها به‌ اين صورت است: ℕ ⊂ ℤ ⊂ Q ⊂ R.
از اين ميان، دستگاه‌هاي N و Z گسسته‌اند و دستگاه‌هاي Q و R پيوسته. هر چهار دستگاه عددي براي مقياس‌هاي پيوسته (فاصله‌اي و نسبي) کاربرد دارند.
مقياس ترتيبي با دستگاه‌هاي اعداد طبيعي (ℕ) يا صحيح (ℤ) قابل سنجش است. نيومن به کاربرد اعداد صحيح منفي در اين مقياس اشاره کرده است؛ مانند شماره‌گذاري طبقات آسانسور که از ℤ استفاده مي‌شود (نيومن، ۱۳۹۹، ص440ـ442).
مقياس اسمي تنها با دستگاه اعداد طبيعي (ℕ) سنجيده مي‌شود. به‌ نظر مک‌ناب، اين مقياس براي آزمون‌هايي مانند خي‌دو، مک‌نيمار،V  کرامر و کيوکران که داده‌ها اسمي هستند، مناسب است (مک‌نيمار، ۱۳۹۵، ص۳۴۶ و ۴۱۴). همچنين براي محاسبة فراواني مطلق، نما (مد)، ضريب همبستگي في، لاندا و ساير شاخص‌هاي اسمي کاربرد دارد (خلعتبري، ۱۳۹۹، ص12ـ14).
4ـ1ـ3. ويژگي‌هاي مجموعه اعداد طبيعي  (ℕ)
براي تسهيل در تحليل، به برخي از ويژگي‌هاي مجموعه اعداد طبيعي اشاره مي‌شود:
ـ مجموعه اعداد طبيعي: ℕ = {1, 2, 3, …}
ـ مجموعه اعداد صحيح: ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
عدد (۱) عضو ابتدايي مجموعة ℕ است. (در برخي منابع، عدد صفر نيز به‌عنوان عضو ابتدايي ذکر شده است.)
بين هر دو عدد متوالي به‌ صورت n و n+1عدد طبيعي ديگري وجود ندارد.
هر عدد طبيعي داراي يک تالي منحصربه‌فرد به‌ صورت n+1 است.
مجموعة  ℕ يک مجموعة خوش‌ترتيب است؛ يعني هر زيرمجموعة غيرتهي از ℕ داراي کوچک‌ترين عضو است (مصاحب، ۱۳۸۵).
جدول (5) وضعيت مقياس‌ها نسبت به دستگاه اصلي اعداد رياضيات و نوع کارايي
سطح    N    Z    Q    R    رويکرد تحقيق    نوع داده    نمودار    موارد کارايي
اسمي    بله    خير    خير    خير    کيفي (استقرايي)     گسسته    غيرخطي    شناسايي افراد يا چيزها يا مکان‌ها
ترتيبي    بله    بله    خير    خير    کيفي (استقرايي)     گسسته    غيرخطي    برتري را بيان مي‌کند.
فاصله‌اي    بله    بله    بله    بله    کمّي (قياسي)     پيوسته    خطي    نسبت دو تفاضل يا هر دو فاصله را حفظ مي‌کند.
نسبي    بله    بله    بله    بله    کمّي (قياسي)     پيوسته    خطي    نسبت را حفظ مي‌کند.
5-1-3. ارتباط سطوح اندازه‌گيري با دستگاه‌هاي اصلي اعداد
جدول (5) بيانگر آن است که هريک از سطوح اندازه‌گيري با نوع خاصي از دستگاه‌هاي عددي در رياضيات ارتباط دارد:
مقياس اسمي با دستگاه اعداد طبيعي (ℕ) مرتبط است. اين مقياس تنها براي شناسايي افراد، اشياء يا مکان‌ها به‌کار مي‌رود و فاقد هرگونه مفهوم عددي يا ترتيبي است. در اين سطح، اعداد صرفاً نقش برچسب دارند و هيچ‌گونه عمليات رياضي يا مقايسه‌اي بر آنها معنا ندارد (بهبوديان، ۱۳۹۸).
مقياس ترتيبي نيز با دستگاه اعداد طبيعي يا صحيح (ℕ) يا (ℤ) قابل سنجش است. اين مقياس علاوه بر شناسايي، امکان رتبه‌بندي يا بيان برتري را فراهم مي‌سازد. با اين حال، فواصل بين رتبه‌ها مشخص نيستند و نمي‌توان عمليات رياضي دقيق بر آنها انجام داد (بهبوديان، ۱۳۹۸).
مقياس فاصله‌اي ساختاري دارد که در آن تفاوت‌هاي بين مشاهدات با ساختار رياضي همخواني دارند. در اين سطح، اعداد به موقعيت‌هاي اشيا اختصاص مي‌يابند و تفاوت‌هاي عددي بين آنها معنا‌دار هستند. به‌‌عبارت ديگر، کاربرد رياضي براي تفاوت‌هاي بين اعداد در اين مقياس معتبر است. مقياس فاصله‌اي در نشان دادن تغييرات خطي بي‌نظير است (چاوا و نچمياس، ۱۳90) و نسبت دو تفاضل يا فاصله را حفظ مي‌کند. به همين علت، آن را «فاصله‌اي» مي‌نامند (بهبوديان، ۱۳۹۸). اين نسبت 〖x_4-x〗_3/(x_2-x_1 ) بايد در تحليل‌هاي فاصله‌اي ثابت بماند تا اعتبار رياضي حفظ شود (بهبوديان، 1398).
مثال کاربردي: در اندازه‌گيري دماي هوا، مقياس «سانتي‌گراد» و «فارنهايت» هر دو فاصله‌اي هستند، اما نقطة صفر آنها متفاوت است. در سانتي‌گراد، صفر درجه نقطة انجماد آب و صد درجه نقطة جوش آن است. در مقابل، در مقياس فارنهايت، نقطة انجماد در ۳۲ درجه و نقطة جوش در ۲۱۲ درجه قرار دارد. با وجود تفاوت در نقطة صفر، نسبت اختلافات دمايي در هر دو مقياس حفظ مي‌شود و مستقل از واحد اندازه‌گيري است.
جدول (6) بررسي نسبت تفاوت‌ها در مقياس‌هاي فارنهايت و سانتي‌گراد
100    30    10    0    سانتي‌گراد
212    86    50    32    فارنهايت
در جدول (6) ملاحظه مي‌شود که نسبت تفاوت‌ها با هم برابرند (لطف‌آبادي، 1394، ص41).
(30-10)/(10-0)=2 و(86-50)/(50-32)=2
مقياس‌هاي نسبي و فاصله‌اي نمراتي به دست مي‌دهند که با دامنة کاملي از محاسبات رياضي مطابقت دارند (فورزانو و فردريک، 1401).
سؤال (6): شاخص‌هاي مرکزي چه جايگاهي در مقياس‌هاي اندازه‌گيري دارند؟
پاسخ:
جدول (7) وضعيت مقياس‌ها نسبت به شاخص‌هاي مرکزي و پراکندگي
سطوح    مد (نما)     ميانه    ميانگين    واريانس     انحراف معيار    متعادل بودن
اسمي    بلي    خير    خير    خير    خير    خير
ترتيبي    بله    بله    خير    خير    خير    خير
فاصله‌اي    بله    بله    بله    بله    بله    احتمالاً
نسبي    بله    بله    بله    بله    بله    به احتمال زياد
جدول (7) نشان مي‌دهد که شاخص‌هاي مرکزي در سطوح مختلف اندازه‌گيري جايگاه متفاوتي دارند:
نما (مد) در تمام سطوح اندازه‌گيري (اسمي، ترتيبي، فاصله‌اي و نسبي) قابل استفاده است. اين شاخص فراوان‌ترين مقدار يا طبقه را نشان مي‌دهد و در تحليل‌هاي توصيفي کاربرد گسترده‌اي دارد (نيومن، ۱۳۹۹).
ميانه براي داده‌هاي ترتيبي، فاصله‌اي و نسبي قابل استفاده است. در مقياس ترتيبي، ميانه تنها شاخص مرکزي معتبر محسوب مي‌شود؛ زيرا داده‌ها داراي ترتيب هستند؛ اما فواصل بين آنها مشخص نيستند (چاوا و نچمياس، ۱۳۹0).
در مقياس‌هاي نسبي و فاصله‌اي، تغييرپذيري به صورت انحراف معيار نشان داده مي‌شود.
در مقياس ترتيبي به صورت انحراف چارک‌ها نشان داده مي‌شود.
در مقياس اسمي، تنها شاخص قابل استفاده «نما» است؛ زيرا داده‌ها فاقد ترتيب و فاصله‌اند و صرفاً براي طبقه‌بندي به‌کار مي‌روند. در اين مقياس، تغييرپذيري وجود ندارد (بريتيوم و لامورو، 1395، ص79) و تنها شاخص قابل استفاده «نما» است؛ زيرا داده‌ها فاقد ترتيب و فاصله‌اند و صرفاً براي طبقه‌بندي به‌کار مي‌روند.
در داده‌هاي پيوسته همواره رابطة تقريبي زير بين نما، ميانه و ميانگين برقرار است (بهبوديان، 1398):
)MO≈3MD-2X ̅(    )،MO(نما:     )،MD (ميانه: 
اين رابطه، به‌ويژه در توزيع‌هاي متعادل يا نزديک به متعادل، کاربرد دارد و مي‌تواند در تحليل‌هاي توصيفي و بررسي تقارن داده‌ها مفيد باشد (بهبوديان، ۱۳۹۸).
سؤال (7): براي رفع ابهام‌ها چه پيشنهادها يا نظرياتي وجود دارند؟
پاسخ: بر اساس ديدگاه‌هاي پژوهشگران و متخصصان، راهکارهاي ذيل براي رفع ابهام در مقياس‌هاي اندازه‌گيري، به‌ويژه مقياس ترتيبي، پيشنهاد شده‌اند:
1. استفاده از روش فازي: روش فازي مي‌تواند به حل ابهامات مقياس ليکرت کمک کند و تحليل‌هاي دقيق‌تري ارائه دهد (ساعي، ۱۴۰۰).
2. کاهش تعداد گزينه‌ها: ترکيب دو حد انتهايي پاسخ‌ها (مثلاً، «کاملاً موافقم» و «موافقم») و تبديل طيف پنج‌گزينه‌اي به سه‌گزينه‌اي، موجب کاهش خطا و ساده‌سازي تحليل مي‌شود (بست، ۱۳۹۰). 
3. تغيير ساختار متغيرها: در مواردي که ميانگين قابل محاسبه نيست، پيشنهاد شده است که متغيرها به دو طبقه محدود شوند تا تحليل ساده‌تر و معتبرتر باشد (دواس، ۱۳۹۷، ص۱۵۵).
4. استفاده از شاخص‌هاي مناسب تغييرپذيري: در مقياس‌هاي ترتيبي، به‌جاي انحراف معيار، از انحراف چارکي استفاده شود: Q=〖Q_3-Q〗_1/2 (بريتيوم و لامورو، ۱۳۹۵، ص۷۷).
5. تأکيد بر ميانه به‌جاي ميانگين: در داده‌هاي ترتيبي، استفاده از مد (نما) ممکن است، اما ميانه (چارک دوم) شاخص مناسب‌تري است (دواس، ۱۳۹۷، ص۴۴).
6. تفکيک مقياس‌هاي رتبه‌اي از فاصله‌اي: پرسش‌هايي که صرفاً رتبه را مي‌سنجند (مانند نوع مدرسة محل تحصيل) نبايد به‌عنوان مقياس فاصله‌اي تلقي شوند (تدلي و تشکري، ۱۳۹۶).
نتيجه‌گيري
اين نوشتار با هدف «بررسي ابهامات مقياس‌هاي اندازه‌گيري و تلاش براي رفع آنها با تکيه بر قوانين و خواص علوم رياضي» تدوين شد. پرسش‌هاي مطرح‌شده به روش کتابخانه‌اي و با استناد به منابع علمي و پژوهشي معتبر، ديدگاه‌هاي متخصصان بين‌المللي و تجربيات نگارندگان پاسخ داده شد. در اين مقاله نشان داده شد که چگونه مي‌توان با بهره‌گيري از اصول رياضي، ابهامات موجود در مقياس‌هاي اندازه‌گيري را تحليل و تبيين کرد.
در اين زمينه، از مفاهيم بنيادين رياضي مانند روابط هم‌ارزي (انعکاسي، تقارني، متعدي)، دستگاه‌هاي عددي (اعداد طبيعي، صحيح، گويا و حقيقي)، چهار عمل اصلي (جمع، تفريق، ضرب، تقسيم)، خواص جبري (شرکت‌پذيري، جابه‌جايي، توزيع‌پذيري)، آمار توصيفي (درصد، شاخص‌هاي مرکزي و پراکندگي مانند ميانگين، ميانه، نما، چارک‌ها، دامنه)، اميد رياضي، انتگرال و نيز آمار استنباطي (آزمون‌هاي آماري) استفاده شد.
پرواضح است که دانشجويان و پژوهشگران علوم انساني در اجراي پژوهش‌هاي کمّي، به‌ويژه در بخش اندازه‌گيري، از چهار سطح اسمي، ترتيبي، فاصله‌اي و نسبي بهره مي‌برند. اين مقياس‌ها با وجود مزاياي فراوان، از ديدگاه روش‌شناسي داراي ابهاماتي هستند که سال‌هاست محل بحث و چالش‌اند. در اين ميان، مقياس ترتيبي بيشترين ابهام را دارد. در بسياري از پژوهش‌ها، به‌ويژه پايان‌نامه‌ها و طرح‌هاي اجرايي، پژوهشگران تلاش مي‌کنند مقياس ترتيبي را با استفاده از طيف ليکرت به سطح فاصله‌اي ارتقا دهند تا بتوانند از آزمون‌هاي مبتني‌بر توزيع متعادل استفاده کنند.
در اين مقاله، ابهام موجود در مقياس ترتيبي با استناد به منابع معتبر و استدلال‌هاي رياضي به‌دقت بررسي شد. نتايج نشان داد که مقياس ترتيبي، به‌ويژه در قالب طيف چندگزينه‌اي ليکرت، ماهيتي کيفي دارد و تنها اعداد گسسته (طبيعي يا صحيح) در آن معنا دارند؛ اعداد اعشاري در اين مقياس جايگاهي ندارند. با اين حال، بسياري از پژوهشگران داخلي به‌اشتباه از ميانگين به‌جاي ميانه استفاده مي‌کنند تا داده‌ها را به حالت متعادل نزديک کنند، در حالي ‌که ميانگين تنها در داده‌هاي پيوسته (فاصله‌اي و نسبي) تعريف مي‌شود و اين دو مقياس از پيش‌فرض‌هاي توزيع متعادل هستند.
استدلال شد که مقياس ترتيبي، حتي در قالب طيف ليکرت، نمي‌تواند به مقياس فاصله‌اي ارتقا يابد؛ زيرا ميانگين براي آن تعريف نمي‌شود. استفادة نادرست از ميانگين در اين مقياس، موجب خطا در محاسبة انحراف معيار، تحليل واريانس، انتخاب آزمون آماري مناسب، و در نهايت، بي‌اعتباري تحليل آماري خواهد شد.
از ديگر نتايج مهم اين پژوهش آن است که مقياس‌هاي اسمي، فاصله‌اي و نسبي داراي ويژگي‌هاي هم‌ارزي رياضي (انعکاسي، تقارني، متعدي) هستند، اما مقياس ترتيبي تنها خاصيت انتقال‌پذيري را داراست. همچنين مقياس‌هاي اسمي و ترتيبي در رياضيات جايگاه جبري ندارند و تنها از دستگاه‌هاي گسستة N و Z براي رمزگذاري و شمارش استفاده مي‌شود. چهار عمل اصلي رياضي و خواص جبري در اين دو مقياس تعريف‌ناپذيرند. در رابطة هم‌ارزي نيز مقياس ترتيبي فاقد خاصيت انعکاسي و تقارني است.
قريب به اتفاق صاحب‌نظران پذيرفته‌اند که ارتقاي داده‌هاي ترتيبي به فاصله‌اي، از نظر آماري و رياضي محل اشکال است. کرلينجر پيشنهاد مي‌کند که پژوهشگران مطالعات مشابهي انجام دهند تا ابهامات موجود در مقياس‌ها با دقت علمي و رياضي برطرف شود.
پيشنهاد
با توجه به افزايش سطح سواد عمومي، پيشنهاد مي‌شود در طراحي پرسشنامه‌ها، به‌جاي طيف ليکرت، از نمرات ۱ تا ۲۰ يا درصد (%) استفاده شود. «درصد» مفهومي آشنا و قابل فهم براي عموم مردم است و مزاياي ذيل را دارد:
ـ داده‌ها پيوسته و قابل تحليل‌اند.
ـ ميانگين به‌راحتي و بدون اشکال قابل محاسبه است.
ـ دامنة درصد با چارک‌ها و ضريب همبستگي قابل تطبيق است و امکان طبقه‌بندي کيفي (خيلي ضعيف، ضعيف، متوسط، خوب، خيلي خوب) را فراهم مي‌سازد.